数论之原根

简介：
原根是数论中一个非常重要的概念，它在密码学中有着很广泛的应用。原根从直观上非常好理解，数g对与p是原根，则(g^i)%p的结果互不相同，其中，i ∈ [1, p-1], g ∈ [2, p-1]。原根与整数的阶的关系非常密切，下面先从整数的阶讲起。

整数的阶：
根据欧拉定理（这篇博客的最后有讲到），如果 $n$ 为正整数且 $a$ 是一个与n互质的整数，那么$a ^ {φ(n)} ≡ 1 (mod\ n)$。因此，至少存在一个正整数满足同余方程$a ^ x ≡ 1 (mod\ n)$。
1、定义：
设 $a$ 与 $n$ 是互质的正整数，使得$a ^ x ≡ 1 (mod\ n)$ 成立的最小正整数 $x$ 称为a模n的阶，记为$ord_na$ 。
2、定理(1)：
如果 $a$ 与 $n$ 是互质的整数且$n>0$，那么正整数 $x$ 是同余式 $a ^ x ≡ 1 (mod\ n)$ 的一个解当且仅当$ord_na|x$ 。
由定理(1)，我们可以得到一个推论：
推论(1)：
如果 $a$ 与 $n$ 是互质的整数且$n>0$，那么$ord_na|φ(n)$
3、定理(2)：
如果 $a$ 与 $n$ 是互质的整数且$n>0$，那么正整数 $a^i=a^j (mod\ n)$，当且仅当 $i = j (mod\ ord_na)$，其中$i$， $j$为非负整数。

原根：
1、定义：
如果 $a$ 与 $n$ 是互质的整数且$n>0$，那么当 $ord_na = φ(n)$时，称$a$为模$n$的原根。
2、性质：
1) 所有的素数都有原根。
2) 不是所有的整数都有原根。
3、定理(3)：
如果 $a$ 与 $n$ 是互质的整数且$n>0$，则如果$a$是模$n$的一个原根，那么整数$a$, $a^2$, … , $a^{φ(n)}$构成模$n$的既约剩余系。
既约剩余类，即简化剩余类，是指在每个模$n$的值与$n$互质的剩余类中，各取一数组成的集合。
这个定理说明了我们在简介中说道的关于原根的一个基本性质，即$a^i$两两互不相同。
4、定理(4)：
当正整数$m$有原根时，有$φ(φ(m))$个原根。

求素数的原根：
因为整数$a$是原根，即 $a$ 模 $n$ 的阶数为 $φ(n)$ 的整数，所以我们可以通过判断小于 $φ(n)$ 的整数中是否存在整数 $x$ 使得 $a ^ x ≡ 1 (mod\ n)$ 。其实也可以再缩小范围，需要检测的数只是 $φ(n)$ 的质因子即可，这个可以由定理(1)(2)得到。

下面给出求素数原根的算法代码：

long long a[100005], len;
long long q_pow(long long a, long long b, long long c)
{
    long long ans=1;
    while(b)
    {
        if(b%2)
            ans=(ans*a)%c;
        a=(a*a)%c;
        b/=2;
    }
    return ans;
}

// test if g ^ ((p-1)/a) == 1 (mod p)
long long g_test(long long g, long long p)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(q_pow(g, (p-1)/a[i], p)==1)
            return 0;
    return 1;
}

long long primitive_root(long long p)
{
    // get the prime factor of p-1
    len=0;
    long long tmp=p-1;
    for(long long i=2;i<=tmp/i;i++)
    {
        if(tmp%i==0)
        {
            a[len++]=i;
            while(tmp%i==0)
                tmp/=i;
        }
    }
    if(tmp!=1)
        a[len++]=tmp;

    // find the primitive root
    long long g=1;
    while(g<p)
    {
        if(g_test(g,p))
            return g;
        g++;
    }
}