初等数论 3.1原根

定义：若$0̸=a\in \mathbb{Z},n\in {\mathbb{Z}}^{+}$且$(a,n)=1$，满足$a^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$成立的最小正整数称为$a$模$n$的阶，记为$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}$.
定理：若$0̸=a\in \mathbb{Z},x,n\in {\mathbb{Z}}^{+}$且$(a,n)=1$，则$a^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$当且仅当$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}\mid x$.

如果$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}\mid x$，那么$x=k\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}k\in {\mathbb{Z}}^{+}$，所以$$a^x=a^{k\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}}=(a^{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}}{)}^k\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$若$a^x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，使用带余除法：$$x=q\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}+r0\le r<\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}$$从而$$a^x=a^{q\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}+r}=(a^{\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}}{)}^q{a}^r\equiv a^r\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$$所以$r=0$，$x=q\cdot \mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}$，$\mathrm{o}\mathrm{r}{\mathrm{d}}_{\mathrm{n}}\mathrm{a}\mid x$.

推论：若$a$与$n$互素且n&gt;0n&gt;0