[BZOJ3576][Hnoi2014]江南乐（博弈）

最新推荐文章于 2021-07-14 11:13:18 发布

FromATP

最新推荐文章于 2021-07-14 11:13:18 发布

阅读量682

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏： BZOJ 并不是很懂的博弈文章标签： BZOJ HNOI 博弈

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fromatp/article/details/68483863

BZOJ 同时被 2 个专栏收录

112 篇文章

订阅专栏

并不是很懂的博弈

5 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种针对SG函数的高效求解方法，通过分析不同堆石子数量的组合特性，采用记忆化搜索实现时间复杂度的优化，达到O(n√n)级别。文章详细解释了如何利用分块枚举除法来减少不必要的计算，并给出了具体的实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

=== ===

这里放传送门

=== ===

题解

这题对于SG函数的递推非常好想，因为对于有x个石子的一堆来说，选定一个m以后分成的m堆一定要么是 $\lfloor{x \over m}\rfloor$ 个，要么是 $\lfloor{x \over m}\rfloor+1$ 个，因为把除以m以后的那些余数一堆一个就能满足要求了。因为后继状态是每个石子堆的异或值，所以只要算一下两种石子堆的奇偶性然后用记忆化搜索得到后继SG值就可以了。

但是如果每次都暴力枚举m的话时间复杂度是 $O(n^2)$ 级别的。考虑优化，因为它有一个下取整除法的操作，可以考虑利用分块枚举除法的做法。设当前数字为x，除以m的商为u，余数为r，那么值为 $\lfloor{x \over m}\rfloor+1$ 的就有r堆，剩下的m-r堆都是 $\lfloor{x \over m}\rfloor$ 的。列几个数就可以发现，如果当前这一段区间长度大于2，那么随着除数m每次加一，余数的变化是每次减少u直到减少到0的。

而因为要考察r和m-r的奇偶性，所以可以对u分奇偶讨论。当u是奇数的时候，r的奇偶性每次都会改变，但m因为是每次加一，所以它的奇偶性也会每次改变，也就是说m-r的奇偶性是不变的，那么 $\lfloor{x \over m}\rfloor$ 的那些堆到底有没有影响就是确定的了，直接计算就可以。这里的“有影响”是说它有奇数堆，不会在异或操作中被消掉。

而因为区间长度是大于2的，所以状态一定会改变至少一次，也就是说 $\lfloor{x \over m}\rfloor+1$ 的那些堆有影响和无影响的状态肯定都存在于这一块里面，加进去就可以了。同样，当u是偶数的时候，r的奇偶性是不变的，也就是 $\lfloor{x \over m}\rfloor+1$ 的那些堆状态是确定的，再把 $\lfloor{x \over m}\rfloor$ 的那些堆有影响和无影响的状态都加进去就可以了。时间复杂度是 $O(n\sqrt n)$ 的。这里用记忆化搜索比预处理要快很多，因为实际上用到的状态很少。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,F,n,sum,sg[100010];
int get_sg(int u){
    int res,k,tail,now;
    if (sg[u]!=-1) return sg[u];
    bool ext[10010];
    memset(ext,false,sizeof(ext));
    for (int i=2;i<=u;i=tail+1){
        tail=min(u/(u/i),u);
        now=0;
        res=u/i;k=u%i;
        if (tail-i+1<2){
            if (k&1) now^=get_sg(res+1);
            if ((i-k)&1) now^=get_sg(res);
            ext[now]=true;
        }else
          if (res&1){
              if ((i-k)&1) now^=get_sg(res);
              ext[now]=true;
              now^=get_sg(res+1);
              ext[now]=true;
          }else{
              if (k&1) now^=get_sg(res+1);
              ext[now]=true;
              now^=get_sg(res);
              ext[now]=true;
          }
    }
    for (int i=0;;i++)
      if (ext[i]==false){
          sg[u]=i;break;
      }
    return sg[u];
}
int main()
{
    memset(sg,-1,sizeof(sg));
    scanf("%d%d",&T,&F);
    for (int i=0;i<F;i++) sg[i]=0;
    for (int wer=1;wer<=T;wer++){
        scanf("%d",&n);sum=0;
        for (int i=1;i<=n;i++){
            int x;scanf("%d",&x);
            sum^=get_sg(x);
        }
        if (sum==0) printf("0");
        else printf("1");
        if (wer==T) printf("\n");
        else printf(" ");
    }
    return 0;
}