【贪心算法】单源最短路径Python实现

问题描述

• 给定一个带权有向图$G=(V,E)$，其中每条边的权是非负实数，给定$V$中的一个顶点，称为源
• 计算从源到所有其他各顶点的最短路径长度

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Dijkstra算法

• Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法
• 其基本思想是，设置顶点集合$S$，并不断地做贪心选择来扩充这个集合，一个顶点属于集合$S$当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知
• 初始时，$S$中仅含有源，设$u$是$G$的某一个顶点，把从源到$u$且中间只经过$S$中顶点的路称为从源到$u$的特殊路径，并用数组$dist$记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度，用数组$parent[i]$记录从源到顶点$i$的最短路径上$i$的前一个顶点
• Dijkstra算法每次从$V-S$中取出具有最短特殊路长度的顶点$u$，将$u$添加到$S$中，同时对列表$dist$和$parent$做必要的修改，当$dist[u]+graph[u][i]<dist[i]$时，置$dist[i]=dist[u]+graph[u][i]$，置$parent[i]=u$
• 一旦$S$包含了所有$V$中顶点，$dist$就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度

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Dijkstra算法的正确性

贪心选择性质

• Dijkstra算法所做的贪心选择是从$V-S$中选择具有最短特殊路径的顶点$u$，从而确定从源到$u$的最短路径长度$dist[u]$，从源到$u$没有更短的其他路径
• 事实上，如果存在一条从源到$u$且长度比$dist[u]$更短的路，设这条路初次走出$S$之外到达的顶点为$x$