7、深入探索 Clifford 代数：二元运算与向量几何

深入探索 Clifford 代数：二元运算与向量几何

1. Clifford 代数中的二元运算

1.1 进化单位与广义签名

在 Clifford 代数里，进化单位的乘法结果通常为零，除非满足特定约束条件。伪标量 (e_N = e_0e_1e_2 \cdots e_{n - 1}) 由集合 (N = {0, 1, 2, \cdots, n - 1}) 表示。对于进化单位 (e_S = e_{s_1}e_{s_2} \cdots e_{s_m})，其广义签名 (\lambda_S) 是所有原始单位签名的乘积，即：
(\lambda_S = \prod_{k = 1}^{m} \lambda_{s_k})
广义签名的值作为进化单位与其自身反转相乘结果的系数，这与内积计算结果相同，也是计算内积最简便的方法：
(\lambda_S e_{\varnothing} = \tilde{e} S e_S = e_S \tilde{e}_S = (e_S, e_S) e {\varnothing})
因此，标量单位 (e_{\varnothing}) 的签名 (\lambda_{\varnothing}) 始终为 +1。

1.2 Clifford 数的乘法

Clifford 代数不满足交换律，但满足结合律和分配律。两个 Clifford 数 (x = \sum_{i} a_i e_{A_i}) 和 (y = \sum_{j} b_j e_{B_j}) 的中心乘法可通过将第一个数的每个分量与第二个数的每个分量相乘，然后将结果相加得到：
(xy = \sum_{i} \sum_{j} a_i b_j e