1、克利福德代数数值计算实用指南

克利福德代数数值计算实用指南

1. 引言

克利福德代数是一种强大的工具，但如同所有工具一样，它仅适用于某些特定任务。使用它能让特定任务比使用其他工具更简单，不过要掌握它也需要投入时间来培养相应技能。

克利福德发明这种代数是为了解决经典电磁学中的麦克斯韦方程组。当时，还有笛卡尔分量和四元数这两种工具在使用，向量微积分则是从四元数发展而来。克利福德将他的代数称为“几何代数”，它基于四元数构建，其基本行为依赖于格拉斯曼早期引入的正交基本向量单位的代数。因此，除了四元数的乘法，克利福德的几何代数还继承了格拉斯曼“广延代数”中的多种乘法和其他运算，比如内乘、外乘、渐进和回归乘法、中心乘法以及一元补充运算等。

随着时间推移，这些运算的名称和符号都发生了变化。例如，内乘最初由格拉斯曼定义为一个数与另一个数的补充的外乘，当时使用方括号 [ ] 表示外乘，竖线 | 表示补充。如今，内乘至少有两种表示法：(a, b) 和 a ∧∗b 。

2. 克利福德代数的基本运算与结构

• 基本运算
  • 一元运算 ：包括否定、对合、对换、反转、克利福德共轭、补充和伪标量等。例如否定就是改变数值的符号。
  • 二元运算 ：有外乘、内乘、渐进和回归乘法、中心乘法等。外乘具有反交换性，内乘与向量的几何关系密切。
• 结构
  • 代数结构 ：基于格拉斯曼的广延