17、麦利耶斯公钥密码系统的密码分析攻击方案解析

麦利耶斯公钥密码系统的密码分析攻击方案解析

1. 引言

密码等价问题在密码学领域一直是一个关键且具有挑战性的问题。本文聚焦于解决特定的密码等价问题，特别是针对二进制极性码的情况。通过一系列步骤和算法，我们旨在找到一种有效的方法来解决密码等价问题，并对麦利耶斯公钥密码系统进行攻击。

2. 解决密码等价问题的步骤

2.1 步骤 1 - 最小重量码字搜索

寻找 $C (I)π$ 的码字可通过应用 Dumer 算法实现。对于速率为 $R$ 的码，找到重量为 $w$ 的码字的复杂度，当 $w$ 是码长的次线性函数且码长 $n$ 趋于无穷大时，可估计为 $O\left(e^{-w \ln(1 - R)(1 + o(1))}\right)$。对于单项式码，速率大于某个常数 $\varepsilon > 0$ 的码的最小距离至多为 $O(\sqrt{n})$，这对于本文考虑的极性码是可以实现的。同时，利用定理 3 可轻松获得 $C (I)$ 的所有最小码字，$W_{min}$ 可分解为在 $LTA_m$ 作用下的轨道，每个轨道包含 $I$ 中一个次数为 $r^+$ 的单项式。

2.2 步骤 2 - $W_{min}$ 中轨道的签名

为区分 $W_{min}$ 中的码字，我们在 $LTA_m$ 作用下分解 $W_{min}$ 的每个轨道中选择一个单项式 $g$，并计算关于 $ev(g)$ 的支持 $J$ 的缩短码 $D = \left(S_J (C (I))\right)^{\perp}$ 的对偶。对于本文考虑的极性码，对偶码 $D$ 中重量为 $2r^-$ 的码字数量和 $D$ 的维数这一对参数足以区分轨道，从而得到轨道的签名。这一关键数