18、麦利耶斯公钥密码系统的密码分析

麦利耶斯公钥密码系统的密码分析

命题 3 的证明

设 $C (I)$ 为递减单项式码。首先证明点 (i)，即 $C (I)$ 的最小距离等于 $2^{m - r^+(C (I))}$。注意到 $r^+$ 也是 $I$ 中单项式的最大次数，由此可直接得出该结论。

若考虑这个单项式的求值，我们会得到一个重量为 $2^{m - r^+(C (I))}$ 的码字。这意味着 $C (I)$ 的最小距离小于或等于这个值。另一方面，$C (I)$ 的最小距离大于或等于 $R(r^+, m)$ 的最小距离，根据定理 2，$R(r^+, m)$ 的最小距离等于 $2^{m - r^+(C (I))}$。这就证明了我们的论断。

接下来考虑第二点，即：
$r^-(C (I)^{\perp}) = m - 1 - r^+(C (I))$ (5)
$r^+(C (I)^{\perp}) = m - 1 - r^-(C (I))$ (6)

这可直接由命题 2 得出：$C (I)^{\perp}= C (M \ \check{I})$，以及 $r^-(C (I)^{\perp})$ 和 $r^+(C (I)^{\perp})$ 的另一种定义，它们分别是所有次数为 $r$ 的单项式都是 $M \ \check{I}$ 中的单项式的最大次数 $r$，以及属于 $M \ \check{I}$ 的单项式的最大次数。

第三点，即 $C (I)^{\perp}$ 的最小距离等于 $2^{r^-(C (I)) + 1}$，将点 (i) 应用于单项式码 $C (I)^{\perp}$ 并结合 (6) 式即可直接得出。

下面证明递减单项式码 $C