16、麦利耶斯公钥密码系统的密码分析

麦利耶斯公钥密码系统的密码分析

1. 极码等价问题的挑战

极码的等价问题之所以困难，主要有两个关键因素。其一，解决该问题的标准算法——支持分裂算法，由于极码的零化子规模极大，其复杂度过高，在实际应用中难以使用。其二，极码拥有庞大的置换群，这使得问题变得更加复杂。

2. 码的操作

支持分裂算法中用于解决码等价问题的基本操作之一是考虑缩短码和删信码。对于给定的码 $C$ 和子集 $J \subseteq {0, \ldots, n - 1}$，删信码 $P_J(C)$ 和缩短码 $S_J(C)$ 的定义如下：
- $P_J(C) \stackrel{\text{def}}{=} { (c_i) {i \notin J} \mid c \in C }$;
- $S_J(C) \stackrel{\text{def}}{=} { (c_i) {i \notin J} \mid \exists c = (c_i)_i \in C \text{ 使得 } \forall i \in J, c_i = 0 }$。

当 $J = {j}$ 时，我们使用 $P_j(C)$ 和 $S_j(C)$ 来简化表示。这些码用于解决码等价问题的方式如下：对码 $C$ 在位置 $i$ 进行删信，对 $C^{\pi}$ 在位置 $j$ 进行删信。如果我们有一种快速方法来检查两个码是否不等价，就可以利用这个工具来判断两个删信码是否可能等价（在支持分裂算法中，这是通过计算零化子的重量枚举式来完成的，该枚举式在置换下显然是不变的）。如果两个删信码不等价，那么我们可以确定位置 $i$ 和 $j$ 不能通过置换 $\pi$ 相互对应。同样的思路也适用于缩短码。