37、数据结构与约束处理算法：二叉搜索树与音高约束引擎设计

数据结构与约束处理算法：二叉搜索树与音高约束引擎设计

1. 二叉搜索树

1.1 二叉搜索树简介

二叉搜索树是搜索树的一种，它由带有键值（可能还有其他相关值）的节点组成，这些节点以树状结构相互连接。在二叉搜索树中，每个节点最多有两个子节点。节点添加到树中的方式遵循以下原则：对于给定的节点，键值较小的节点在其左侧，键值较大的节点在其右侧，相同键值的节点可以在任意一侧。

1.2 搜索算法

搜索算法通过遍历树节点并进行键比较，尝试找到与搜索值匹配的节点。当二叉搜索树构建正确时，搜索速度非常快，平均搜索时间复杂度为 $O(log_2(n))$，其中 $n$ 是树中节点的数量。不过，在特殊情况下，比如树是由 $n$ 个节点组成的序列时，搜索时间复杂度会变为 $O(n)$。

以下是搜索算法的伪代码：

search(key):
    x = root
    while x and key != x.key:
        x = x.left if key < x.key else x.right
    return x

1.3 二叉搜索树的优势

虽然哈希表的访问时间复杂度为 $O(1)$，但二叉搜索树具有两个关键优势：
- 通常占用更少的空间。
- 节点值是自然排序的，可以通过简单的树遍历进行检索。

1.4 二叉搜索树示例

下面是一个二叉树搜索的示例图：