基于MATLAB的逆矩阵、相似矩阵、正交矩阵（附完整代码）

原创 2024-01-04 15:25:39 1.3w 阅读 AI写同款

收录于

MATLAB

唠嗑！

码龄5年墨衍会员 · AI 创作全网分发

3万+粉丝169篇原创

关注

Matlab求矩阵的逆，3种常用方法总结最近在使用函数库求解逆矩阵的时候发现同一个矩阵使用不同的语言、不同的求解方法会产生不同精度的结果，特别是阶数很高的方阵，一些库中的算法为了使计算速度提升，用了非常规方法。这里整理了3种常用的矩阵求逆方法，伴随矩阵法、LU分解法和高斯消元法，并用Matlab进行了实现，一些过程参考了NET博文：阅读详情

AI摘要

本文介绍了MATLAB中多项式与向量的相互转换，如poly2sym和sym2poly函数的使用，以及矩阵的逆矩阵计算，包括inv函数和invhilb函数的比较。同时，讨论了相似变换和正交矩阵的概念，通过示例展示了如何求解正交矩阵及其误差分析。此外，还涉及奇异矩阵的正交基矩阵计算。

一. 符号多项式与数值多项式的转换

向量 $P=[a_1,a_2,\ldots,a_{n+1}]$ ，可以利用MATLAB将此向量转换为多项式表示，格式如下：

f=poly2sym(P)

当然，反过来也可以将符号多项式转换为向量，格式如下：

P=sym2poly(f)

备注：注意函数字母的顺序，2代表"to"

例题1

用不同的形式表示 $f=s^5+2s^4+3s^3+4s^2+5s+6$ 。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
P=[1 2 3 4 5 6]; %按照降幂的顺序，将系数表示成多项式
f=poly2sym(P) %转换成符号型多项式

P1=sym2poly(f) %从f转换成数值形式的多项式

运行结果：
f =x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 4*x^2 + 5*x + 6

P1 =1 2 3 4 5 6

二. 矩阵的逆矩阵

令A为n✖️n的非奇异方阵，则其逆矩阵 $C=A^{-1}$ ，且满足如下表达式：

$AC=CA=I$

MATLAB调用的格式，如下：

C=inv(A)

例题2

利用不同的方法计算4阶Hilbert矩阵的逆矩阵，并比较误差。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
format long; %有效数字16位
H=hilb(4);

%直接利用inv函数求逆矩阵
H1=inv(H)
E1=norm(H*inv(H)-eye(size(H))) %计算误差范数


%利用invhilb()函数求逆矩阵
H2=invhilb(4)
E2=norm(H*invhilb(4)-eye(size(H)))

运行结果：

H1 =

1.0e+03 *

0.015999999999999 -0.119999999999991 0.239999999999979 -0.139999999999986
-0.119999999999991 1.199999999999898 -2.699999999999748 1.679999999999834
0.239999999999979 -2.699999999999748 6.479999999999380 -4.199999999999592
-0.139999999999986 1.679999999999835 -4.199999999999593 2.799999999999732

E1 = 4.585334383488104e-13

H2 =

16 -120 240 -140
-120 1200 -2700 1680
240 -2700 6480 -4200
-140 1680 -4200 2800

E2 = 5.684341886080801e-14

分析：

invhilb()函数求出的逆矩阵，误差更小
对接近奇异矩阵，高阶次的情况不建议直接使用inv()函数，可以辅助符号工具箱

例题3

利用符号型矩阵求30阶Hilbert矩阵的逆矩阵，并求其误差。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
H=sym(hilb(30));
H1=inv(H) %求逆
E1=norm(double(H*H1-eye(size(H)))) %计算范数误差

运行结果：

30阶Hilb矩阵的求逆结果非常长，此处放出一部分：

E1 =0

分析：利用符号型矩阵求出的结果非常好，范数误差为0

如果对Hlbert矩阵不熟悉的小伙伴，可以参看这篇博客：

基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式_唠嗑！的博客-优快云博客

另外，奇异矩阵不存在相应的逆矩阵，利用符号工具箱求不出对应的结果。例如以下矩阵，就没有对应的逆矩阵：

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\ 5&11&10&8\\ 9&7&6&12\\ 4&14&15&1\\ \end{bmatrix}$

含有变量的矩阵，也可以利用inv()函数求其逆矩阵的。

例题4

求矩阵 $C=\begin{bmatrix}a_1&a_2\\ a_3&a_4 \end{bmatrix}$ 的逆矩阵。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
syms a1 a2 a3 a4;
C=[a1 a2;a3 a4];
C1=inv(C)

运行结果：

C1 =
[ a4/(a1*a4 - a2*a3), -a2/(a1*a4 - a2*a3)]
[ -a3/(a1*a4 - a2*a3), a1/(a1*a4 - a2*a3)]

三. 相似变换与正交矩阵

令A为一方阵，B为非奇异矩阵，可以将X矩阵相似变换为A，如下等式：

$X=B^{-1}AB$

经过相似变换后，X矩阵的秩、迹、行列式和特征值是保持不变的，这些值与A矩阵式完全一致。

利用MATLAB代码，可以求矩阵A的正交矩阵，如下：

Q=orth(A)

例题5

（1）求矩阵A的正交矩阵，并分析其误差

（2）求矩阵A的相似矩阵，并验证它们的秩、迹、行列式和特征值保持一致

$A=\begin{bmatrix}5&9&8&3\\0&3&2&4\\2&3&5&9\\3&4&5&8 \end{bmatrix}$

解：

（1）

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[5 9 8 3;0 3 2 4;2 3 5 9;3 4 5 8];
Q=orth(A) %计算正交矩阵

%计算两个范数误差
E1=norm(Q'*Q-eye(4))
E2=norm(Q*Q'-eye(4))

运行结果：

Q =

-0.619671340140301 0.773813880904394 -0.026187274644937 -0.128583570393247
-0.254847576927508 -0.155059655254056 0.949030283052491 0.101738575260225
-0.519781065663075 -0.529820044088602 -0.156282788746931 -0.651685548866623
-0.529988477724807 -0.310578978545115 -0.272454470393609 0.740554841404303

E1 =

6.864210016106769e-16

E2 =

5.954287625931994e-16

（2）

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[5 9 8 3;0 3 2 4;2 3 5 9;3 4 5 8];
Q=orth(A); %计算正交矩阵

C=Q'*A*Q %计算相似矩阵

%比较行列式
det_A=det(A)
det_C=det(C)

%比较迹
trace_A=trace(A)
trace_C=trace(C)

%比较秩
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)

%比较特征值
eig_A=eig(A)
eig_C=eig(C)

运行结果：

C =

17.925057378000762 6.462719720294041 -4.471443805828351 -2.035430394056599
-0.028176367934769 1.719350371804496 4.681584194604236 -5.073533409228641
0.679969849088359 -0.938582090234548 1.067433333071010 0.663121379729752
-0.054869356773865 0.365821867858506 0.177602682111582 0.288158917123740

det_A =1.200000000000000e+02
det_C = 1.200000000000000e+02

trace_A =21
trace_C =21.000000000000007

rank_A =4
rank_C = 4

eig_A =

17.820526571492692 + 0.000000000000000i
1.190811102512153 + 2.649886414907482i
1.190811102512153 - 2.649886414907482i
0.797851223483017 + 0.000000000000000i
eig_C =

17.820526571492696 + 0.000000000000000i
1.190811102512152 + 2.649886414907483i
1.190811102512152 - 2.649886414907483i
0.797851223483016 + 0.000000000000000i

例题6

计算矩阵A的正交基矩阵，并分析其结果和误差。

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\5&11&10&8\\ 9&7&6&12\\ 4&14&15&1 \end{bmatrix}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
Q=orth(A)
E1=norm(Q'*Q-eye(3))

运行结果：

Q =

-0.500000000000000 0.670820393249937 0.500000000000000
-0.500000000000000 -0.223606797749979 -0.500000000000000
-0.500000000000000 0.223606797749979 -0.500000000000000
-0.500000000000000 -0.670820393249937 0.500000000000000

E1 =

5.333708524809506e-16

分析：原矩阵A是奇异矩阵，所以得到的正交矩阵Q为长方形矩阵

标签

#matlab #矩阵