基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式

前言

本节主要讨论矩阵的基本概念和性质，结合MATLAB的基础代码，适合新手。

一. 行列式

矩阵 $A=\lbrace a_{ij}\rbrace$ 的行列式的数学定义如下：

$D=|A|=det(A)=\sum (-1)^ka_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$

MATLAB调用的格式如下：

d=det(A)

例题1

求以下矩阵的行列式：

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\5&11&10&8\\9&7&6&12\\4&14&15&1 \end{bmatrix}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
det(A)

运行结果：
ans =

5.1337e-13

例题2

利用解析解的方法计算20✖️20的Hilbert矩阵的行列式，并分析其代码运行时间。

解：

MATLAB代码：

clc;clear;
tic, %时间的开端
A=sym(hilb(20)); %20阶的hilbert矩阵，并写成符号形式
det(A),
toc %时间的结束

运行的结果较长，如下：

ans =
1/2377454716768534509091644243427616440175419837753486493033185331234419759310644585187585766816573773440565759867265558971765638419710793303386582324149811241023554489166154717809635257797836800000000000000000000000000000000000

历时 0.246496 秒

分析：可通过此结果推断高阶的Hilbert矩阵式接近奇异的矩阵

二. 矩阵的迹

在数学中，方阵 $A=\lbrace a_{ij}\rbrace,\quad i,j=1,2,\ldots,n$ 的迹定义如下：

$tr(A)=\sum_{i=1}^n a_{ii}$

MATLAB的格式如下：

t=trace(A)

三. 矩阵的秩

矩阵的秩可以理解为该矩阵中行列式不等于0的子式中最大的阶次。基于线性无关性质，行秩和列秩是相等的，MATLAB格式如下：

r=rank(A); %利用默认的精度求数值秩
r=rank(A); %给定精度下，求数值秩

上式子中，r可代表列秩或行秩。

例题3

求矩阵A的秩，A的表达式如下：

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\ 5&11&10&8\\ 9&7&6&12\\ 4&14&15&1\\ \end{bmatrix}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
rank(A)

运行结果：
ans =

分析：该矩阵的秩为3，小于该矩阵的阶次4，所以次矩阵为非满秩矩阵。

例题4

利用数值方法和解析方法分别求20✖️20的Hilbert矩阵的秩。

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
H=hilb(20);
r1=rank(H) %数值方法
H1=sym(hilb(20));
r2=rank(H1) %解析方法

运行结果：

r1 = 13
r2 = 20

分析：两种方法运行结果不一样，原因是原矩阵为非奇异矩阵

四. 矩阵范数

首先，我们来认识下向量的范数。函数 $\rho(x)$ 为向量 $x$ 的范数，需要满足如下三个基本条件：

$\rho(x)\geq0$ ， $\rho(x)=0$ 的充要条件是 $x=0$
$\rho(ax)=|a|\rho(x)$ ，其中a为任意的标量
对任意向量x和y，都有 $\rho(x+y)\leq\rho(x)+\rho(y)$

令 $||x||_p$ 代表向量的范数，从数学的观点上，范数的计算公式如下：

$||x||_p=(\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{\frac{1}{p}},\quad p=1,2,\cdots$

此式子中， $||x||_\infty=max_{1\leq i\leq n}|x_i|$

由向量的范数延伸到矩阵的范数，对于任意的非零向量x，矩阵A的范数可定义如下：

$||A||=sup_{x\neq0}\frac{||Ax||}{||x||}$

常用的三个范数计算如下：

$||A||_1=max_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{ij}|$

$||A||_2=\sqrt{s_{max}(A^TA)}$

$||A||_\infty=max_{1\leq i\leq n}\sum_{j=1}^n|a_{ij|}$

在MATLAB中调用的格式如下：

N=norm(A)  %求解默认为2的范数
N=norm(A,others) %others可填1，,2，inf等

例题5

求解以下向量a和矩阵A的范数。

a=[16 2 3 13];

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\ 5&11&10&8\\ 9&7&6&12\\ 0&7&3&6\\ \end{bmatrix}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
a=[16 2 3 13];
a1=[norm(a),norm(a,2),norm(a,1),norm(a,inf)]
%分别求向量 默认，2，,1，无穷大的范数
A=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;0 7 3 6];
A1=[norm(A),norm(A,2),norm(A,1),norm(A,inf)]
%分别求矩阵 默认，2，,1，无穷大的范数

说明：因为符号运算工具箱未提供norm()函数，所以如果给出的是符号矩阵，则需要先用double()函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm（）函数即可。

五. 特征多项式

矩阵A的特征多项式，定义如下：

$C(s)=det(sI-A)=s^n+c_1s^{n-1}+\ldots+c_{n-1}s+c_n$

MATLAB调用的格式，如下：

C=poly(A)

例题6

求矩阵A的特征多项式。

$A=\begin{bmatrix}16&2&3&13\\ 5&11&10&8\\ 9&7&6&12\\ 4&14&15&1\\ \end{bmatrix}$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
A1=[16 2 3 13;5 11 10 8;9 7 6 12;4 14 15 1];
C1=poly(A1) %直接求解

A2=sym(A1);
C2=charpoly(A2) %运用符号工具箱求解

运行结果：
C1 =

1.0e+03 *

0.0010 -0.0340 -0.0800 2.7200 0.0000

C2 =
[ 1, -34, -80, 2720, 0]

分析：两个结果一致

六. 矩阵多项式

矩阵多项式的数学形式如下：

$B=a_1A^n+a_2A^{n-1}+\ldots+a_nA^n+a_{n+1}I$

MATLAB调用的格式，如下：

B=polyvalm(a,A)

如果是点运算，则定义如下形式：

$C=a_1x.^n+a_2x.^{(n-1)}+\ldots+a_{n+1}$

MATLAB调用格式，如下：

C=polyval(a,x)

可以将多项式P中的自变量s替换为x，MATLAB格式如下：

C=subs(p,s,x)

例题7

（1）求向量与矩阵间的矩阵多项式

$a=[1\quad2\quad3\quad4]$ ， $A=\begin{bmatrix}5&6\\7&8 \end{bmatrix}$

(2)求向量与向量间的矩阵多项式

$a=[1\quad2\quad3\quad4]$ ， $x=[7\quad8\quad9]$

解：

MATLAB代码如下：

clc;clear;
a=[1 2 3 4];
A=[5 6;7 8];
x=[7 8 9];

C1=polyvalm(a,A)

C2=polyval(a,x)

运行结果：

C1 =

1034 1200
1400 1634

C2 =

466 668 922

基于MATLAB的矩阵性质：行列式，秩，迹，范数，特征多项式与矩阵多项式

前言

一. 行列式

例题1

例题2

二. 矩阵的迹

三. 矩阵的秩

例题3

例题4

四. 矩阵范数

例题5

五. 特征多项式

例题6

六. 矩阵多项式

例题7

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