Hausdorff空间与有限点集是闭集与其他

本文深入探讨了拓扑学中的Hausdorff空间概念,通过反例说明了单点集为闭集的拓扑空间不一定是Hausdorff空间,并证明了在特定条件下,该空间确实满足Hausdorff性质。此外,文章还讨论了闭集无限并集的性质,以及函数良好交与差性质的本质。

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前言:《拓扑学》第二版看到第三章紧致空间,提到了有限补拓扑的紧致性,起了疑惑,如果单点集都是闭集,是否是Hausdorff空间,书上只证明了必要条件,由此可想,其逆大概不成立,于是乎自己证明了,基于此,记录下来

问题111: 拓扑空间XXX中,每个单点集都是闭集,则XXX不一定是HausdorffHausdorffHausdorff空间

问题222: 基于问题111,若对于每个点存在一个独立的有限邻域,即任意不同的x∈U,y∈Vx \in U, y \in VxU,yV, {x,y}̸⊂(U∩V)\{x, y\} \not\subset (U \cap V){x,y}̸(UV),其中U,VU, VU,V分别时x,yx, yx,y的有限领域,则XXXHausdorffHausdorffHausdorff空间

证:

1.1.1.通过举反例证明前半部分,如RRR上的有限补拓扑即是一个,因为其满足每个单点集为闭集,但任意二个点xxxyyy的邻域必相交于无穷远处,不然就是有限邻域,则不符合有限补的定义

∵∃x∈U∧y∈V⇒U∩V=∅\because \exists x \in U \wedge y \in V \Rightarrow U \cap V = \varnothingxUyVUV=

∴R=R−(U∩V)=(R−U)⋁(R−V)\therefore R = R - (U \cap V) = (R - U) \bigvee (R - V)R=R(UV)=(RU)(RV)

∵R−U,R−V\because R - U, R - VRU,RV都是有限集

∴R≠(R−U)⋁(R−V)=X\therefore R \ne (R - U) \bigvee (R - V) = XR̸=(RU)(RV)=X

∴U,V\therefore U, VU,V必相交

2.2.2.设任一点xxx的有限领域UUU, 任一不同点yyy的有限领域VVV, W=U∩VW = U \cap VW=UV为开集
α.\alpha.α.x̸∈W⋀y̸∈Wx \not\in W \bigwedge y \not\in Wx̸Wy̸W,则有
x∈(X−V)∩V=∅,y∈(X−U)∩U=∅x \in (X - V) \cap V = \varnothing, y \in (X - U) \cap U = \varnothingx(XV)V=,y(XU)U=
β.y∈W\beta. y \in Wβ.yW,则有
x∈(X−W)∩W=∅x \in (X - W) \cap W = \varnothingx(XW)W=

而当x∈U,y∈Vx \in U, y \in VxU,yV, {x,y}⊂(U∩V)\{x, y\} \subset (U \cap V){x,y}(UV),则不能从U,V,W,XU, V, W, XU,V,W,X构造无交领域,通过简单的反例可知,这种情况下不成立,尤其当U=VU = VU=V时,如题111的例子RRR上的有限补拓扑,a,ba, ba,b具有相同的有限领域UUU,因为a,ba, ba,b除了领域UUU之外的所有领域组合都相交,而UUU本身又包含a,ba, ba,b,因此没有无交领域

以下为简单的推论:

拓扑空间XXX中,每个单点集都是闭集,则XXXHausdorffHausdorffHausdorff空间当且仅当对于任意二点x,yx, yx,y,存在无交领域或领域的交是有限集且x,yx, yx,y不同时属于这个交

思考为什么会出现这种情况,本质是什么,对于任一x∈Ux \in UxU邻域,邻域UUU是闭集的无限并为什么不一定是闭集,于是乎就回归到了拓扑的定义上:

开集的有限交是开集,闭集的有限并是闭集

上述的命题的无限版本不一定成立,考虑RRR标准拓扑

⋂(−1n,1n)={0},n∈Z+\bigcap (-\frac{1}{n}, \frac{1}{n})= \{0\}, n \in Z_+(n1,n1)={0},nZ+为闭集

⋃(−∞,−1n]∪[1n,+∞)=(−∞,0)∪(0,+∞),n∈Z+\bigcup (-\infty, -\frac{1}{n}] \cup [\frac{1}{n}, +\infty) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty), n \in Z_+(,n1][n1,+)=(,0)(0,+),nZ+为开集

因此有时往往疏忽了问题的本质,例如为什么f−1f^{-1}f1有良好的交与差性质,而fff却没有,本质是在函数的定义上:值域里不同的两点不能由定义域里的同一点映射得到,即

∀y1,y2∈f(X)y1≠y2→f−1(y1)∩f−1(y2)=∅\forall_{y_1, y_2 \in f(X)} y_1 \ne y_2 \rightarrow f^{-1}(y_1) \cap f^{-1}(y_2) = \varnothingy1,y2f(X)y1̸=y2f1(y1)f1(y2)=

x∈f−1(V1∩V2)⇒f(x)∈V1∩V2⇒x∈f−1(V1)∩f−1(V2)x \in f^{-1}(V_1 \cap V_2) \Rightarrow f(x) \in V_1 \cap V_2 \Rightarrow x \in f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2)xf1(V1V2)f(x)V1V2xf1(V1)f1(V2)

x∈f−1(V1)∩f−1(V2)⇒f(x)∈V1∩V2⇒x∈f−1(V1∩V2)x \in f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2) \Rightarrow f(x) \in V_1 \cap V_2 \Rightarrow x \in f^{-1}(V_1 \cap V_2)xf1(V1)f1(V2)f(x)V1V2xf1(V1V2)

其他:

(α)A−B‾A‾−B‾(\alpha)\overline{A - B} \varsupsetneqq \overline{A} - \overline{B}(α)ABAB

proof:proof:proof:

∵x∈A‾−B‾\because x \in \overline{A} - \overline{B}xAB

∴x∈A‾∧x̸∈B‾\therefore x \in \overline{A} \wedge x \not\in \overline{B}xAx̸B

∵∃x∈U,VU∩(A−B)=∅⋀V∩B=∅⇒x∈W=U∩V,W∩A=∅\because \exists_{x \in U, V}U \cap (A - B) = \varnothing \bigwedge V \cap B = \varnothing \Rightarrow x \in W = U \cap V, W \cap A = \varnothingxU,VU(AB)=VB=xW=UV,WA=

∴∀x∈UU∩(A−B)≠∅\therefore \forall_{x \in U} U \cap (A - B) \neq \varnothingxUU(AB)̸=

∴x∈A−B‾\therefore x \in \overline{A - B}xAB

∵A=[−1,1],B=[0,1]\because A = [-1, 1], B = [0, 1]A=[1,1],B=[0,1]

∴A−B‾=[−1,0]A‾−B‾=[−1,0)\therefore \overline{A - B} = [-1, 0] \varsupsetneqq \overline{A} - \overline{B} = [-1, 0)AB=[1,0]AB=[1,0)

∴A−B‾A‾−B‾\therefore \overline{A - B} \varsupsetneqq \overline{A} - \overline{B}ABAB

(β)A−B‾A‾−B‾‾(\beta)\overline{A - B} \varsupsetneqq \overline{\overline{A} - \overline{B}}(β)ABAB

∵x∈A‾−B‾\because x \in \overline{A} - \overline{B}xAB

∴∀x∈Ux∈(U−B‾)∩A⊂(U−B)∩A=U∩(A−B)≠∅\therefore \forall_{x \in U} x \in (U - \overline{B}) \cap A \subset (U - B) \cap A = U \cap (A - B) \neq \varnothingxUx(UB)A(UB)A=U(AB)̸=

∴x∈A−B‾⇒A−B‾⊃A‾−B‾\therefore x \in \overline{A - B} \Rightarrow \overline{A - B} \supset \overline{A} - \overline{B}xABABAB

∴A−B‾‾=A−B‾⊃A‾−B‾‾\therefore \overline{\overline{A - B}} = \overline{A - B} \supset \overline{\overline{A} - \overline{B}}AB=ABAB

(X,τ)=({a,b,c},{∅,X,{a,b},{b},{b,c}})(X, \tau) = (\{a, b, c\}, \{\varnothing, X, \{a, b\}, \{b\}, \{b ,c\}\})(X,τ)=({a,b,c},{,X,{a,b},{b},{b,c}})

A={a,b},B={b,c}A = \{a, b\}, B = \{b, c\}A={a,b},B={b,c}

A−B‾={a}A‾−B‾‾=∅\overline{A - B} = \{a\} \varsupsetneqq \overline{\overline{A} - \overline{B}} = \varnothingAB={a}AB=

考虑(α),(β)(\alpha), (\beta)(α),(β)在序拓扑下,特别是RRR的标准拓扑下的情况,未完待续。。。

A=Q,B=R−Q⇒A−B‾=RA‾−B‾‾=∅A = Q, B = R- Q \Rightarrow \overline{A - B} = R \varsupsetneqq \overline{\overline{A} - \overline{B}} = \varnothingA=Q,B=RQAB=RAB=

A,BA, BA,B都为RRR上的非空凸子集时,可以验证A,BA, BA,B必为RRR上的区间或射线,这情况下是相等的,因为这时候只有有限个临界点

而对于其他序拓扑的非空凸子集呢?尤其是当凸子集不是区间或射线,如R2R^2R2字典序下的(0,1)×R(0, 1) \times R(0,1)×R,未完待续。。。

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