《计算理论导引（原书第3版）》笔记（持续更新中）

第〇章：绪论

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$0.1$|自动机、可计算性与复杂性

计算复杂性理论

• 某些问题很难计算，某些问题容易计算

可计算性理论

• 一些基本问题是不能用计算机解决的，例如确定一个数学命题是真或是假

自动机理论

• 自动机理论阐述了计算的数学模型的定义和性质

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$0.2$|数学概念和术语

集合

• 如果集合要考虑元素出现的次数，则称作多重集合

关系

• 等价关系：一种特殊类型的二元关系，满足$3$个条件
  • $R$是自反的，即对每一个$x$，$xRx$
  • $R$是对称的，即对每一个$x$和$y$，$xRy$则$yRx$
  • $R$是传递的，即对每一个$x$，$y$和$z$，$xRy$，$yRz$则$xRz$

图

• 简单路径：没有顶点重复的路径

• 连通图：每一对顶点之间都有一条路径的图

• 圈：一条起点和终点相同的路径

• 强连通图：每一个顶点到另一个顶点都有一条有向路径的图

字符串和语言

• 字母表上的字符串：字母表中符号的有穷序列

• 空串：记为$\epsilon$

• $\omega$的反转（倒序）：按照相反的顺序写$\omega$所得到的字符串，记作${\omega }^R$

• $x$和$y$的连接：把$y$附加在$x$后面得到的字符串

• 字符串顺序：在字典序基础上将短的字符串排在长的字符串前面

• 语言：字符串的集合

• 如果语言中任何一个成员都不是其他成员的真前缀，那么该语言是无前缀的

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$0.3$|定义、定理和证明

定理

• 定理：被证明为真的数学命题

证明

• $P$仅当$Q$：若$P$为真，则$Q$为真
• $P$当$Q$：若$Q$为真，则$P$为真

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$0.4$|证明的类型

构造性证明

• 定理：如果图中每一个顶点的度数都为$k$，则称这个图是$k$正则的，对于每一个大于$2$的偶数$n$，存在一个有$n$个顶点的$3$正则图
  • 证明：设$n$是大于$2$的偶数，现构造有$n$个顶点的图$G=(V,E)$，$G$的顶点集为 V = {   0 , 1 , ⋯   , n − 1   } V = \set{0 , 1 , \cdots , n - 1} V={ 0,1,⋯,n−1}，边集为 E = {   {   i , i + 1   } ∣ 0 ≤ i ≤ n − 2   } ∪ {   {   n − 1 , 0   }   } ∪ {   {   i , i + n / 2   } ∣ 0 ≤ i ≤ n / 2 − 1   } E = \set{\set{i , i + 1} \mid 0 \leq i \leq n - 2} \cup \set{\set{n - 1 , 0}} \cup \set{\set{i , i + n / 2} \mid 0 \leq i \leq n / 2 - 1} E={ { i,i+1}∣0≤i≤n−2}∪{ { n−1,0}}∪{ { i,i+n/2}∣0≤i≤n/2−1}

反证法

• 假设定理为假，证明这个假设会导致一个明显的错误结论，故而相矛盾

• 定理：$\sqrt{2}$是无理数

  • 证明

    • 假设$\sqrt{2}$是有理数，$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$，$m$和$n$都是整数且互质

    • $n\sqrt{2}=m$

    • $2n^2=m^2$，由于$m^2$是整数$n^2$的$2$倍，故$m^2$是偶数，所以$m$是偶数，对于某个整数$k$，$m=2k$

    • $2n^2=(2k{)}^2=4k^2$

    • $n^2=2k^2$，故$n^2$是偶数，所以$n$是偶数，于是$m$和$n$都是偶数，与$m$和$n$互质矛盾

    • 所以$\sqrt{2}$是无理数

归纳法

• 定理：设$P$为贷款原始数额，$I>0$为贷款的年利率，$I=0.06$表示年利率为$6\%$，$Y$为月付款数，$M=1+I/12$为月倍增系数，$P_t$为在$t$个月后未偿还清的贷款余额，对于每一个$t\ge 0$，$P_t=P{M}^t-Y\left(\frac{M^t-1}{M-1}\right)$

  • 证明
    • 归纳基础：当$t=0$时，$P_0=P{M}^0-Y\left(\frac{M^0-1}{M-1}\right)=P$，成立
    • 归纳步骤：对于每一个$k\ge 0$，假设当$t=k$时公式成立，$P_k=P{M}^k-Y\left(\frac{M^k-1}{M-1}\right)$
      • P k + 1 = P k M − Y = [ P M k − Y ( M k − 1 M − 1 ) ] M − Y = P M k + 1 − Y ( M k + 1 − M M − 1 ) − Y ( M − 1 M − 1 ) = P M k + 1 − Y ( M k + 1 − 1 M − 1 ) \begin{aligned} P_{k + 1} = P_{k} M - Y = \left[P M^{k} - Y \left(\cfrac{M^{k} - 1}{M - 1}\right)\right] M - Y &= P M^{k + 1} - Y \left(\cfrac{M^{k + 1} - M}{M - 1}\right) - Y \left(\cfrac{M - 1}{M - 1}\right) \\ &= P M^{k + 1} - Y \left(\cfrac{M^{k + 1} - 1}{M - 1}\right) \end{aligned}