【计算理论】【《计算理论导引（原书第3版）》笔记】第〇章：绪论

第〇章：绪论

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0.1|自动机、可计算性与复杂性

计算复杂性理论

• 某些问题很难计算，某些问题容易计算

可计算性理论

• 一些基本问题是不能用计算机解决的，例如确定一个数学命题是真或是假

自动机理论

• 自动机理论阐述了计算的数学模型的定义和性质

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0.2|数学概念和术语

集合

• 如果集合要考虑元素出现的次数，则称作多重集合

关系

等价关系

• 一种特殊类型的二元关系，满足$3$个条件
  • $R$是自反的，即对每一个$x$，$xRx$
  • $R$是对称的，即对每一个$x$和$y$，$xRy$则$yRx$
  • $R$是传递的，即对每一个$x$，$y$和$z$，$xRy$，$yRz$则$xRz$

图

简单路径

• 没有顶点重复的路径

连通图

• 每一对顶点之间都有一条路径的图

圈

• 一条起点和终点相同的路径

强连通图

• 每一个顶点到另一个顶点都有一条有向路径的图

字符串和语言

字母表上的字符串

• 字母表中符号的有穷序列

空串

• 记为$\epsilon$

$w$的反转（倒序）

• 按照相反的顺序写$w$所得到的字符串，记作$w^R$

$x$和$y$的连接

• 把$y$附加在$x$后面得到的字符串

字符串顺序

• 在字典序基础上将短的字符串排在长的字符串前面

语言

• 字符串的集合

• 无前缀语言：如果语言中任何一个成员都不是其他成员的真前缀，那么该语言是无前缀的

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0.3|定义、定理和证明

定理

• 定理：被证明为真的数学命题

证明

$P$仅当$Q$

• 若$P$为真，则$Q$为真

$P$当$Q$

• 若$Q$为真，则$P$为真

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0.4|证明的类型

构造性证明

示例

定理

• 如果图中每一个顶点的度数都为$k$，则称这个图是$k$正则的
• 对于每一个大于$2$的偶数$n$，存在一个有$n$个顶点的$3$正则图

证明

• 设$n$是大于$2$的偶数，现构造有$n$个顶点的图$G=(V,E)$，$G$的顶点集为 V = {   0 , 1 , ⋯   , n − 1   } V = \set{0 , 1 , \cdots , n - 1} V={ 0,1,⋯,