【计算理论】【《计算理论导引（原书第3版）》笔记】第一章：正则语言

1.1|有穷自动机

有穷自动机的状态图

• 起始状态用一个指向它的无出发点的箭头表示
• 接受状态带有双圈
• 从一个状态指向另一个状态的箭头称为转移

有穷自动机的形式化定义

• 有穷自动机是一个$5$元组$(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$，其中

  • $Q$是一个有穷集合，称为状态集
  • $\Sigma$是一个有穷集合，称为字母表
  • $\delta :Q\times \Sigma \to Q$是转移函数
  • $q_0\in Q$是起始状态
  • $F\subseteq Q$是接受状态集

• 若$A$是机器$M$接受的全部字符串集，则称$A$是机器$M$的语言，记作$L(M)=A$，又称$M$识别$A$

• 如果机器不接受任何字符串，它仍然识别一个语言，即空语言$\varnothing$

有穷自动机计算的形式化定义

• 设$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$是一台有穷自动机，$w=w_1{w}_2\cdots w_n$是一个字符串并且其中任一$w_i$是字母表$\Sigma$的成员，如果存在$Q$中的状态序列$r_0$，$r_1$，$\cdots$，$r_n$满足下述条件

  • $r_0=q_0$

  • $\delta (r_i,{\omega }_{i+1})=r_{i+1},i=0,\cdots ,n-1$

  • $r_n\in F$

• 则$M$接受$w$

正则语言

• 如果一个语言被一台有穷自动机识别，则称它是正则语言

正则运算

并

A ∪ B = {   x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B   } A \cup B = \set{x \mid x \in A 或 x \in B} A∪B={ x∣x∈A或x∈B}

连接（并置）

A ∘ B = {   x y ∣ x ∈ A 且 y ∈ B   } A \circ B = \set{xy \mid x \in A 且 y \in B} A∘B={ xy∣x∈A且y∈B}

星号

A ∗ = {   x 1 x 2 ⋯ x k ∣ k ≥ 0 且每一个 x i ∈ A   } A^{*} = \set{x_{1} x_{2} \cdots x_{k} \mid k \geq 0 且每一个 x_{i} \in A} A∗={ x1​x2​⋯xk​∣k≥0且每一个xi​∈A}

定理$1$

• 正则语言类在并运算下封闭，换言之，如果$A_1$和$A_2$是正则语言，则$A_1\cup A_2$也是正则语言

证明

• 设$M_1$识别$A_1$，$M_2$识别$A_2$，其中$M_1=(Q_1,\Sigma ,{\delta }_1,q_1,F_1)$，$M_2=(Q_2,\Sigma ,{\delta }_2,q_2,F_2)$，构造识别$A_1\cup A_2$的$M$，这里$M=(Q,\Sigma ,\delta ,q_0,F)$

• Q = {   ( r 1 , r 2 ) ∣ r 1 ∈ Q 1 且 r 2 ∈ Q 2   } Q = \set{(r_{1} , r_{2}) \mid r_{1} \in Q_{1} 且 r_{2} \in Q_{2}} Q={ (r1​,r2​)∣r1​∈Q1​且r2​∈Q2​}

• 转移函数$\delta$定义如下：对每一对$(r_1,r_2)\in Q$和每一个$a\in \Sigma$，令$\delta ((r_1,r_2),a)=({\delta }_1(r_1,a),{\delta }_2(r_2,a))$

• $q_0$是有序对$(q_1,q_2)$