概率论与数理统计（湖南大学教材《大学数学4（第三版）》）笔记（二）（持续更新中）

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第四节|分布函数

定义

• 设$X$是一个随机变量，$x$是任意实数，称 F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P \{ X \leq x \} F(x)=P{ X≤x}为$X$的分布函数
• P { x 1 < X ≤ x 2 } = P { X ≤ x 2 } − P { X ≤ x 1 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 ) P \{ x_{1} < X \leq x_{2} \} = P \{ X \leq x_{2} \} - P \{ X \leq x_{1} \} = F(x_{2}) - F(x_{1}) P{ x1​<X≤x2​}=P{ X≤x2​}−P{ X≤x1​}=F(x2​)−F(x1​)

性质

• $0\le F(x)\le 1,x\in R$

• $F(-\infty )=\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0$，$F(+\infty )=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$

• $F(x)$是单调不减的函数，即$F(x_1)\le F(x_2),x_1<x_2$

  • 事实上， F ( x 2 ) − F ( x 1 ) = P { x 1 < X ≤ x 2 } ≥ 0 F(x_{2}) - F(x_{1}) = P \{ x_{1} < X \leq x_{2} \} \geq 0 F(x2​)−F(x1​)=P{ x1​<X≤x2​}≥0，故$F(x_1)\le F(x_2)$

• $F(x)$右连续，即$F(x)=F(x+0)$

• 满足上述$4$个性质的函数也一定是某个随机变量的分布函数

离散型随机变量的分布函数

• 设$F(x)$是离散型随机变量的分布函数，则 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { ⋃ x k ≤ x ( X = x k ) } = ∑ x k ≤ x P { X = x k } = ∑ x k ≤ x p k F(x) = P \{ X \leq x \} = P \{ \bigcup\limits_{x_{k} \leq x}{(X = x_{k})} \} = \sum\limits_{x_{k} \leq x}{P \{ X = x_{k} \}} = \sum\limits_{x_{k} \leq x}{p_{k}} F(x)=P{ X≤x}=P{ xk​≤x⋃​(X=xk​)}=xk​≤x∑​P{ X=xk​}=xk​≤x∑​pk​，其中和式是对于所有$x_k\le x$的指标$k$求和

• p k = P { X = x k } = F ( x k ) − F ( x k − 0 ) p_{k} = P \{ X = x_{k} \} = F(x_{k}) - F(x_{k} - 0) pk​=P{ X=xk​}=F(xk​)−F(xk​−0)

• 若已知$X$的分布函数$F(x)$，则 P { a ≤ X ≤ b } = P { a < X ≤ b } + P { X = a } = F ( b ) − F ( a ) + P { X = a } P \{ a \leq X \leq b \} = P \{ a < X \leq b \} + P \{ X = a \} = F(b) - F(a) + P \{ X = a \} P{ a≤X≤b}=P{ a<X≤b}+P{ X=a}=F(b)−F(a)+P{ X=a}

连续型随机变量的分布函数

• 若$X$是连续型随机变量，其概率密度为$f(x)$，则 F ( X ) = P { X ≤ x } = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(X) = P \{ X \leq x \} = \displaystyle\int_{- \infty}^{x}{f(t) dt} F(X)=P{ X≤x}=∫−∞x​f(t)dt，即分布函数是概率密度函数的可变积分上限的定积分
• 在$f(x)$的连续点，有$\frac{dF(x)}{dx}=f(x)$，即概率密度函数是分布函数的导数

例题$1$

• 问题：证明：若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Y=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$

• 解答

  • P { a ≤ Y ≤ b } = P { a ≤ X − μ σ ≤ b } = P { μ + σ a ≤ X ≤ μ + σ b } = ∫ μ + σ a μ + σ b 1 σ 2 π e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x P \{ a \leq Y \leq b \} = P \{ a \leq \cfrac{X - \mu}{\sigma} \leq b \} = P \{ \mu + \sigma a \leq X \leq \mu + \sigma b \} = \displaystyle\int_{\mu + \sigma a}^{\mu + \sigma b}{\cfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{(x - \mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}} dx} P{ a≤Y≤b}=P{ a≤σX−μ​≤b}=P{ μ+σa≤X≤μ+σb}=∫μ+σaμ+σb​σ2π ​1​e−2σ2(x−μ)2​dx

  • 令$t=\frac{x-\mu }{\sigma }$，得 P { a ≤ Y ≤ b } = ∫ a b 1 2 π e − t 2 2 d t P \{ a \leq Y \leq b \} = \displaystyle\int_{a}^{b}{\cfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{t^{2}}{2}} dt} P{ a≤Y≤b}=∫ab​2π ​1​e−2t2​dt，则$Y\sim N(0,1)$

正态随机变量

• 若$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则$Y=aX+b\sim N(a\mu +b,|a{|}^2{\sigma }^2)$，正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量

• 对于标准正态分布，用$\Phi (x)$表示分布函数

• 因$\phi (x)$是偶函数，即$\phi (-x)=\phi (x)$，于是$\Phi (-x)=1-\Phi (x)$

  • Φ ( − x ) = ∫ − ∞ − x φ ( t ) d t = ∫ x + ∞ φ ( u ) d u ( 令 t = − u ) = ∫ − ∞ + ∞ φ ( u )