差分

给定一个离散序列: a0,a2,,an,a0,a2,⋯,an,⋯

零阶差分(原序列): Δ0hn=anΔ0hn=an

一阶差分: Δ1hn=an+1anΔ1hn=an+1−an

二阶差分: Δ2hn=Δ1hn+1Δ1hn=an+22an+1+anΔ2hn=Δ1hn+1−Δ1hn=an+2−2⋅an+1+an

三阶差分: Δ3hn=Δ2hn+1Δ2hn=an+33an+2+3an+1anΔ3hn=Δ2hn+1−Δ2hn=an+3−3⋅an+2+3⋅an+1−an

pp阶差分: Δphn=Δp1hn+1Δp1hn

观察发现: Δphn=i=0p(1)piCipan+iΔphn=∑i=0p(−1)p−i⋅Cpi⋅an+i

如果axax是关于xxk次多项式, 即: ax=i=0kbixiax=∑i=0kbi⋅xi

Δ1hx=ax+1ax=i=0kbi(x+1)ii=0kbixi=i=0kbij=0iCjixji=0kbixi=j=0kxji=jkbiCjii=0kbixi=i=0kxij=ikbjCiji=0kbixi=i=0kxi(j=ik(bjCij)bi)=i=0k1xij=i+1kCijbj(80)(81)(82)(83)(84)(85)(86)(80)Δ1hx=ax+1−ax(81)=∑i=0kbi⋅(x+1)i−∑i=0kbi⋅xi(82)=∑i=0kbi∑j=0iCij⋅xj−∑i=0kbi⋅xi(83)=∑j=0kxj∑i=jkbi⋅Cij−∑i=0kbi⋅xi(84)=∑i=0kxi∑j=ikbj⋅Cji−∑i=0kbi⋅xi(85)=∑i=0kxi⋅(∑j=ik(bj⋅Cji)−bi)(86)=∑i=0k−1xi∑j=i+1kCji⋅bj

定理1: kk次多项式差分后为k1次多项式

差分的线性叠加性: hn=αfn+βgnhn=α⋅fn+β⋅gn

Δhn=(αfn+1+βgn+1)(αfn+βgn)=α(fn+1fn)+β(gn+1gn)=αΔfn+βΔgn(87)(88)(89)(87)Δhn=(α⋅fn+1+β⋅gn+1)−(α⋅fn+β⋅gn)(88)=α⋅(fn+1−fn)+β⋅(gn+1−gn)(89)=α⋅Δfn+β⋅Δgn


对于一个kk次多项式ax=i=0kbixi

已知它的Δ0h0,Δ1h0,Δ2h0,,Δkh0Δ0h0,Δ1h0,Δ2h0,⋯,Δkh0

根据二项式反演:
已知: f(n)=i=0nCing(i)f(n)=∑i=0nCni⋅g(i), 则: g(n)=i=0n(1)niCinf(i)g(n)=∑i=0n(−1)n−i⋅Cni⋅f(i)

令: g(n)=Δnh0=i=0n(1)niCinai(0nk)0(n>k)g(n)=Δnh0={∑i=0n(−1)n−i⋅Cni⋅ai(0≤n≤k)0(n>k)

反演得到: f(n)=an=i=0nCinΔih0=i=0kCinΔih0f(n)=an=∑i=0nCni⋅Δih0=∑i=0kCni⋅Δih0


考虑kk次多项式ai的前nn项和sn=i=0nai
sn=i=0nai=i=0nj=0kCjiΔjh0=j=0kΔjh0i=0nCjisn=∑i=0nai=∑i=0n∑j=0kCij⋅Δjh0=∑j=0kΔjh0∑i=0nCij

i=0nCmi=Cm+1n+1∑i=0nCim=Cn+1m+1(数学归纳法可证明)

sn=j=0kΔjh0i=0nCji=j=0kΔjh0Cj+1n+1=i=0kCi+1n+1Δih0sn=∑j=0kΔjh0∑i=0nCij=∑j=0kΔjh0⋅Cn+1j+1=∑i=0kCn+1i+1⋅Δih0

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