辛普森公式

最新推荐文章于 2024-09-23 17:07:10 发布

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已知一个初等函数 $f(x)$ , 求解 $\int_a^bf(x)$
先将 $f(x)$ 近似为某二次函数 $g(x)=A\cdotp x^2+B\cdotp x+C$
那么:

\int b a g (x) = (A 3 \cdot x 3 + B 2 \cdot x 2 + C \cdot x + D) ∣ ∣ b a = A 3 \cdot (b 3 - a 3) + B 2 \cdot (b 2 - a 2) + C \cdot (b - a) = A 3 \cdot (b - a) \cdot (b 2 + b \cdot a + a 2) + B 2 \cdot (b - a) \cdot (b + a) + C \cdot (b - a) = ( b - a ) 6 (2 A \cdot (b 2 + b \cdot a + a 2) + 3 B \cdot (b + a) + 6 C) = ( b - a ) 6 (A \cdot (a 2 + b 2 + 4 \cdot (a + b 2) 2) + B \cdot (a + b + 4 \cdot (a + b 2)) + 6 C) = ( b - a ) 6 \cdot (g (a) + g (b) + 4 \cdot g (a + b 2))

$\int_a^b g(x)=\Big(\frac{A}{3}\cdotp x^3+\frac{B}{2}\cdotp x^2+C\cdotp x+D\Big)\Big|_a^b \\ =\frac{A}{3}\cdotp (b^3-a^3)+\frac{B}{2}\cdotp (b^2-a^2)+C\cdotp (b-a) \\ =\frac{A}{3}\cdotp (b-a)\cdotp(b^2+b\cdotp a+a^2)+\frac{B}{2}\cdotp (b-a)\cdotp(b+a)+C\cdotp (b-a) \\ =\frac{(b-a)}{6}\bigg(2A\cdotp(b^2+b\cdotp a+a^2)+3B\cdotp(b+a)+6C\bigg) \\ =\frac{(b-a)}{6}\bigg(A\cdotp\Big(a^2+b^2+4\cdotp(\frac{a+b}{2})^2\Big)+B\cdotp\Big(a+b+4\cdotp(\frac{a+b}{2})\Big)+6C\bigg) \\ =\frac{(b-a)}{6}\cdotp \Big(g(a)+g(b)+4\cdotp g(\frac{a+b}{2})\Big)$