辛普森公式（理论+代码）

数学分析中的泰勒公式告诉我们，对任何函数，我们都可以用多项式函数去逼近它的函数值，且对于解析性质很好的函数（例如任意阶可导+任意阶导函数有界），我们可以将误差缩小到任意小。

其中

那么，我们在求解析式复杂或者可能无法用初等函数表示原函数的积分问题时，能否也可以用多项式函数来代替呢？
辛普森公式就是用来做这样一件事情。
首先，我们先来确定用什么样的多项式函数去替换我们的原函数。由积分第一中值定理可得：

中值定理表明对于求定积分，我们可以用函数在区间中的某点函数值来乘以区间长度得到。事实上，定积分的定义也是类似的形式，只不过是一个无穷和的极限（黎曼和）

那么，如果我们已知区间中函数在若干点的函数值，我们怎样近似计算定积分呢？
一种朴素的思想是将函数值直接代入黎曼和，但这样的误差会很大。
其次，我们可以考虑一个多项式函数，用多项式函数的积分值来代替原函数的积分。而这样的多项式想要很好地逼近，自然是要在已知点的函数值与原来的函数相同。由拉格朗日插值公式可知，当次数与给定点数相同的情况下，这样的多项式是唯一确定的。