证明√2是无理数

2的由来

  公元前500年,毕达哥拉斯学派的弟子希伯索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实,一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭。这一发现使该学派领导人惶恐,认为这将动摇他们在学术界的统治地位,于是极力封锁该真理的流传,希伯索斯被迫流亡他乡,不幸的是,在一条海船上还是遇到毕氏门徒。被毕氏门徒残忍地投入了水中杀害。科学史就这样拉开了序幕,却是一场悲剧……更多见百度百科。
  说明白点,就是有个叫希伯索斯的人发现边长为1的正方形的对角线长度为2,这个数无法用pq(p,qN)的有理数表示。

证明2是无理数

假设2不是理数

2是有理数

则令2=pq(pqp0,q0)

两边同时平方,2=(pq)2

p2=2q2

p2必为偶数

p必为偶数

p=2m

p2=4m2

q2=2m2

q2必为偶数

q必为偶数

综上,pq都是偶数

pq互质

原假设不成立

2是无理数


考研途中偶然看到的,记录一下。

如有不当之处欢迎指出!

<think>嗯,用户现在问的是如何证明根号二是无理数。这应该是数学中的一个经典问题,我记得以前学过,但具体步骤可能记不太清了。先回忆一下,无理数的定义是不能表示成两个整数之比的数,所以证明根号二不能写成a/b,其中a和b是互质的整数。 首先,假设相反,即根号二是有理数,那么可以表示为a/b,且a和b互质。然后两边平方得到2 = a&sup2;/b&sup2;,也就是a&sup2;=2b&sup2;。这说明a&sup2;是偶数,那么a本身也必须是偶数,因为奇数的平方还是奇数。所以设a=2k,代入后得到(2k)&sup2;=2b&sup2;,即4k&sup2;=2b&sup2;,简化后是2k&sup2;=b&sup2;。这样b&sup2;也是偶数,b同样必须是偶数。但这时候a和b都是偶数,这与他们互质的假设矛盾,所以原假设不成立,根号二是无理数。 不过用户可能对其中某些步骤不太清楚,比如为什么a&sup2;是偶数就能推出a是偶数?这时候可能需要更详细的解释,比如举例子,假设a是奇数,那么a=2k+1,平方后是4k&sup2;+4k+1,明显是奇数,所以如果a&sup2;是偶数,a必须是偶数。 另外,用户可能对反证法的逻辑结构不太熟悉,可能需要强调这是通过假设结论不成立,导出矛盾,从而证明结论成立。这个过程需要逻辑严谨,每一步都不能有漏洞。 还要考虑用户的知识水平,是否熟悉数学符号和术语。比如“互质”是什么意思,可能需要简单解释一下,即a和b的最大公约数是1,没有共同的因数。这样用户才能理解为什么a和b都是偶数会导致矛盾。 可能用户是学生,正在学习数学证明,或者对数学感兴趣的人。他们需要清晰的步骤和逻辑解释,而不仅仅是公式推导。所以需要分步骤说明,用简单易懂的语言,避免过于专业的术语,或者在必要时解释术语。 此外,用户可能想知道这个证明的历史背景或者为什么这个证明重要,可以稍微提一下,比如古希腊毕达哥拉斯学派发现的这个事实,导致了数学基础的危机,说明数学中的无理数确实存在,扩展了数的概念。 最后,检查证明过程是否有遗漏或错误,比如是否正确应用了反证法,每一步推导是否合理,是否所有可能的漏洞都被堵住了。确保回答准确无误,帮助用户真正理解这个经典的证明方法。</think>--- ### **证明$\sqrt{2}$是无理数** #### **1. 基本思路** 采用**反证法**:假设$\sqrt{2}$是有理数,即可以表示为两个整数的比$\frac{a}{b}$($a,b$互质),然后推导出矛盾。 --- #### **2. 证明过程** **步骤1:假设$\sqrt{2}$是有理数** 存在互质的整数$a,b$($b \neq 0$),使得: $$\sqrt{2} = \frac{a}{b}$$ **步骤2:平方两边并整理** $$2 = \frac{a^2}{b^2} \implies a^2 = 2b^2$$ **步骤3:分析$a$的奇偶性** - $a^2 = 2b^2$说明$a^2$是偶数,因此$a$本身必须是偶数(因为奇数平方仍为奇数)。 - 设$a = 2k$($k$为整数),代入上式: $$(2k)^2 = 2b^2 \implies 4k^2 = 2b^2 \implies b^2 = 2k^2$$ **步骤4:分析$b$的奇偶性** - $b^2 = 2k^2$说明$b^2$也是偶数,因此$b$也必须是偶数。 **步骤5:导出矛盾** - 若$a$和$b$均为偶数,则它们至少有公因数2,与初始假设“$a,b$互质”矛盾。 - 因此,原假设$\sqrt{2}$是有理数不成立,$\sqrt{2}$是无理数。 --- #### **3. 关键点说明** - **反证法逻辑**:通过否定结论(假设$\sqrt{2}$是有理数),导出矛盾($a,b$不互质),从而证明原命题成立。 - **奇偶性分析**:偶数的平方是偶数,奇数的平方是奇数,这是推导的核心。 - **历史意义**:这是古希腊毕达哥拉斯学派发现的第一个无理数,打破了“一切数均可表示为分数”的认知。 --- #### **4. 补充思考** 若尝试用具体数值验证,例如: - $\sqrt{2} \approx 1.4142$,无法找到精确的分数表示。 - 任何分数$\frac{a}{b}$的平方最终会导出$a$和$b$的无限递降公因数,违反整数性质。
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