30、最大两层直角交叉子图问题启发式算法与无向广播游戏中的纳什均衡

最大两层直角交叉子图问题启发式算法与无向广播游戏中的纳什均衡

在图论和博弈论领域，最大两层直角交叉子图问题的启发式算法以及无向广播游戏中的纳什均衡是两个重要的研究方向。接下来将为大家详细介绍相关内容。

最大两层直角交叉子图问题

在解决最大两层直角交叉子图问题时，采用了一种名为“Caterpillar”的算法。该算法主要分为两个阶段：
1. 阶段一 ：对于图中的顶点，如果某个顶点 $v$ 在集合 $U$ 中至少有两个邻居，就从中选择两个邻居 $w$ 和 $x’$。其中，$w$ 作为脊柱顶点，$x’$ 作为叶子顶点。$w$ 可以任意选取，而 $x’$ 若可能的话，会选择与 $x$ 相邻的顶点。这样选择是因为在某些情况下，边 $(x, x’)$ 可以添加到图 $H$ 的两层平面嵌入中，且不会产生扇形交叉或三角形交叉。阶段一结束后，可能会存在一组顶点 $W$，每个顶点都构成一个仅包含单个顶点的毛毛虫图。
2. 阶段二 ：处理顶点集 $W$ 中的顶点，以获得一个非平凡的生成毛毛虫森林。由于图 $G$ 中没有孤立顶点，所以 $W$ 中的每个顶点 $w$ 至少与某个包含多个顶点的毛毛虫图中的一个顶点 $z$ 相邻。顶点 $z$ 可能是脊柱顶点或叶子顶点。
- 如果 $z$ 是脊柱顶点，可将边 $(w, z)$ 添加到图 $H$ 中，此时 $H$ 仍然是毛毛虫森林。
- 如果 $z$ 是叶子顶点，设 $e$ 是图 $H$ 中与 $z$ 关联的唯一边，先从 $H$ 中移除边 $e$，再添加边 $(w, z)$。此时，边 $(w, z)$ 构成一个新的毛毛虫图，顶点 $w$ 和 $z$ 被视为脊柱顶点。