11、多级瓶颈分配问题的近似算法研究

多级瓶颈分配问题的近似算法研究

1. MBA 问题的复杂度

判定 MBA 实例的可行性并非难事。只需验证弧集 $E$ 是否包含每对集合 $(V_i, V_{i + 1})$（$1 \leq i \leq m - 1$）之间的二分匹配，就能确定是否存在可行解。然而，寻找最优解则困难得多，即便在 $m = 3$ 且边集完备的情况下也是如此。下面将说明完全 - MBA3 至少和数值三维匹配（N3DM）问题一样难。

N3DM 问题是已知的 NP 难题，其输入包含 3 组正整数：$x_1, \ldots, x_n$（集合 $X$）、$y_1, \ldots, y_n$（集合 $Y$）和 $z_1, \ldots, z_n$（集合 $Z$），以及一个界限 $B$，满足 $\sum_{i = 1}^{n}(x_i + y_i + z_i) = nB$。问题是是否存在 $n$ 个不相交的三元组，每个三元组从三个集合中各取一个元素，且每个三元组满足 $x_i + y_j + z_k = B$。

给定一个 N3DM 实例，可直接构建一个 MBA 实例。设班次数量为 $n$，天数为 3（即 $m = 3$），假设所有弧都存在，即 $E = {(u, v)| (u, v) \in (V_1 \times V_2) \cup (V_2 \times V_3)}$。节点 $v_i \in V_1$ 的权重等于 $x_i$，即 $w(v_i) = x_i$；类似地，$v_i \in V_2$ 的权重为 $y_i$，$v_i \in V_3$ 的权重为 $z_i$。问题变为：是否存在一个由 $n$ 个任务组成的解，使得每个任务的最大负载不超过 $B$？可以验证，N3DM 的肯定实例对应成本为 $B$ 的 MBA