12、组合优化问题的近似算法与重优化研究

组合优化问题的近似算法与重优化研究

在组合优化领域，诸多问题由于其复杂性，精确求解往往十分困难，甚至在某些情况下是不可能的。因此，近似算法和重优化成为了研究的重要方向。本文将围绕在线多级瓶颈分配问题和最大加权 $P_k$-无图子图问题的重优化展开探讨。

在线多级瓶颈分配问题（Online-MBA）

在线多级瓶颈分配问题与在线并行机器调度问题存在关联。给定一个具有 $n$ 台机器的在线并行机器调度实例，可以按照以下步骤构造一个在线多级瓶颈分配问题的实例：
1. 对于每个作业 $i$，创建一个集合 $V_i$，其中包含 $n - 1$ 个权重为 0 的虚拟节点和一个权重等于作业 $i$ 权重的节点。
2. $V_{i + 1}$ 中的每个虚拟节点与 $V_i$ 中的所有节点相连，而 $V_{i + 1}$ 中权重非零的节点与 $V_i$ 中对应作业 $i + 1$ 可分配的机器的节点相连。

顺序瓶颈启发式算法（Sequential Bottleneck Heuristic，SB）是解决在线多级瓶颈分配问题的一种自然算法，它是列表调度算法的推广。然而，该算法的性能可能非常差。

定理表明，顺序瓶颈启发式算法在在线多级瓶颈分配问题中可能表现得任意糟糕。为了证明这一点，我们构造了一个实例：
- 设 $k$ 为奇数，令 $m := 2k - 1$ 且 $n := k$。
- 对于 $i = 1, \ldots, m$，定义 $V_i := {α, 0, \ldots, 0}$，其中当 $i$ 为奇数时 $α = 1$，否则 $α = 0$。
- 当 $i$ 为奇数时，$V_i$ 和 $V_{i + 1}$ 之间的边集是完全的