10、平面中的范围聚合最大点及多级瓶颈分配问题探讨

平面中的范围聚合最大点及多级瓶颈分配问题探讨

在计算机科学和算法设计领域，平面中的范围聚合最大点问题以及多级瓶颈分配问题是两个重要的研究方向。下面将详细介绍这两个问题的相关算法、性质和应用。

平面中的范围聚合最大点问题

在平面上处理点集时，我们常常需要找出特定查询矩形内的最大点集，同时也会涉及到计算这些最大点的数量。

最大点集报告

给定一个由 $n$ 个整数点组成的集合 $R$，这些点来自网格 $[1, n] × [1, n]$。我们可以构建一个数据结构，其大小为 $O(n \frac{\log n}{\log \log n})$ 字。利用这个数据结构，对于给定的查询矩形 $q$，我们能够在 $O(\frac{\log n}{\log \log n} + k)$ 时间内报告 $q \cap R$ 中的最大点集，其中 $k$ 是输出的最大点数量。

计数问题

为了解决计数问题，我们需要进行一系列的预处理和查询操作。

• 预处理步骤 ：

  1. 对于每个内部节点 $\mu \in T_x$，构建一个辅助数组 $A_{\mu}$，该数组按 $y$ 坐标非递增顺序存储以 $\mu$ 为根的子树的叶节点中的点的 $y$ 坐标。
  2. 在 $A_{\mu}$ 的值上构建一个平衡二叉搜索树 $T_y$。
  3. 对于 $T_y$ 中的每个节点 $\varphi$，关联一个辅助数组 $A’_{\varphi}$，它按非递增顺序存储以 $\varphi$ 为根的子树的叶节点的 $y$