16、离散时间线性二次调节器（DLQR）及其相关设计

离散时间线性二次调节器（DLQR）及其相关设计

1. 离散时间线性二次调节器基础

在离散时间系统中，离散时间线性二次调节器（DLQR）是一种重要的控制设计方法。对于离散时间系统，其状态方程为 (x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k))，其中 (u(k) = -Kx(k))。DLQR 的目标是通过最小化目标函数 (J) 来找到状态反馈控制器 (K)。

目标函数 (J) 的表达式为：
[J = \sum_{k = 0}^{\infty} (x(k)^TQx(k) + u(k)^TRu(k))]
这里，(Q) 和 (R) 都是对称矩阵，(Q) 为半正定矩阵，(R) 为正定矩阵。同时，假设矩阵对 ((A, B)) 是可控的，矩阵对 ((A, \Gamma)) 是可观测的，其中 (Q = \Gamma^T\Gamma)。

优化控制问题有两个方面：
- 控制器 (K) 需要使离散时间系统稳定。
- 解应是最小化目标函数 (J) 的结果。

2. 最优解的推导

对于给定的初始条件 (x(0))，闭环控制中状态 (x(k)) 的解析解为：
[x(k) = (A - BK)^kx(0)]
将其代入目标函数 (J) 可得：
[J = x(0)^T\sum_{k = 0}^{\infty} ((A - BK)^k)^TQ(A - BK)^kx(0) + x(0)^T\sum_{k = 0}^{\infty} ((A - BK)^k)^TK^TRK(A - BK)^kx(0) = x(0)^T\sum_{k = 0}^{\infty} ((A - BK)^k)^T(Q + K^TRK