2、基于PGD的机器人路径规划计算宝典

基于PGD的机器人路径规划计算宝典

1. 前置知识

1.1 机器人路径规划的势流理论

近年来，势流理论成为了许多路径规划技术的基础，主要聚焦于拉普拉斯方程的求解。下面先概述描述无粘性不可压缩流体流动的数学模型。

假设在欧拉框架下为稳态无旋流动，速度 $\upsilon$ 满足关系：
$\nabla\times\upsilon = 0$ （1）
因此，速度是标量势函数的梯度，即 $\upsilon = \nabla u$。所以，势函数 $u$ 是拉普拉斯方程的解：
$\Delta u = 0$ （2）

使用类似于 [相关文献] 的 2.5D 模具填充模型，可以在方程（2）的右侧添加由狄拉克项 $\delta_S$（源）和 $-\delta_T$（汇）表示的局部流体源和汇。假设在单位时间内，在点 $S$ 注入单位量的流体，并在点 $T$ 抽出相同单位量的流体。此时，流体速度是泊松方程的解，源项 $f = \delta_S - \delta_T$ 为：
$-\Delta u = \delta_S - \delta_T$ （3）

方程（3）必须辅以适当的边界条件。流体不能流过边界，这一条件由 $\upsilon \cdot n$（$n$ 是边界 $\Gamma$ 的法向量）表示。在 $\Gamma$ 上，速度必须满足：
$-\nabla u \cdot n = 0$ （4）
这就是通常由下式表示的诺伊曼边界条件：
$\frac{\partial u}{\partial n}\big|_{\Gamma} = 0$ （5）

在这些条件下求解泊松方程，可生成从起