8、随机、控制与机器人领域的前沿理论探索

随机、控制与机器人领域的前沿理论探索

一、近邻相互作用的量子版本

在量子物理的研究中，近邻相互作用的量子版本是一个重要的研究方向。对于N粒子系统在时间t的状态，我们用(\psi_t^N(X_1, \cdots, X_N))来表示。经典方程(dX_i(t) = (\psi(\psi(X_{i - 1}(t)) - \psi(X_{i + 1}(t))) - 2\psi(\psi(X_i(t)))dt + dB_{i - 1, i}(t) - dB_{i, i + 1}(t))需要进行量子化处理。

我们采用的一种量子化方法是(\psi_t(dt)(X) = \alpha\psi_t((X - \phi\sigma)(dt)(dB(t))))，其中(|\alpha| = 1)且(\alpha \in C)，为了便于计算，我们令(\alpha = 1 + i\beta dt)，这样(|\alpha| = \sqrt{1 + \beta^2dt^2} = 1 + O(dt))，(\beta = \beta(X))。

同时，还涉及到一些相关的方程和算子，如(dX_i(t) = dZ_{i - 1, i}(t) - dZ_{i, i + 1}(t))，其中(dZ_{i, i + 1}(t) = (\psi(X_i(t)) - \psi(X_{i + 1}(t)))dt + dB_{i, i + 1}(t))，(i \in Z)；(X_N(t) = \sum_{i \in Z_N}J(\frac{i}{N})X_i(t))。

前向柯尔莫哥洛夫算子为(dX(t) = (\psi(\psi(X_{i - 1}(t)) - \psi(X_{i + 1}(t))) - 2\psi(\