2、基于PGD的机器人路径规划计算指南

基于PGD的机器人路径规划计算指南

1. 前期知识

在机器人路径规划领域，潜在流理论和PGD（Proper Generalized Decomposition）方法是重要的基础。下面详细介绍相关知识。
- 潜在流理论用于机器人路径规划
- 近年来，潜在流理论成为许多路径规划技术的基础，主要聚焦于拉普拉斯方程的求解。假设在欧拉框架下存在稳态无旋流，速度 $\upsilon$ 满足 $\nabla\times\upsilon = 0$，这意味着速度是标量势函数的梯度，即 $\upsilon = \nabla u$，因此势函数 $u$ 是拉普拉斯方程 $\Delta u = 0$ 的解。
- 利用类似 2.5D 模具填充模型，可在拉普拉斯方程右侧添加狄拉克项 $\delta_S$（源）和 $-\delta_T$（汇），得到泊松方程 $-\Delta u = \delta_S - \delta_T$。该方程需补充边界条件，由于流体不能流过边界，速度需满足 $-\nabla u \cdot n = 0$，这是诺伊曼边界条件 $\frac{\partial u}{\partial n}| {\Gamma} = 0$。在这些条件下求解泊松方程，可得到从起点 $S$ 到目标点 $T$ 无死锁的势场。
- 泊松方程的 PGD 解
- 考虑二维泊松方程 $\Delta u(x, y) = f(x, y)$，在二维矩形域 $\Omega_X = \Omega_X \times \Omega_Y \subset R^2$ 上，边界条件为 $\frac{\partial u}{\partial n}|