基于分离因子的CMOS放大器鲁棒设计

面向建立时间规格的CMOS放大器鲁棒设计

引言

在过去几十年中，互补金属氧化物半导体（CMOS）运算跨导放大器（OTA）的设计一直是各类电路（如模拟信号处理、混合模式应用和电压调节器）中最重要的任务之一[1–17]。随着时间的推移，由于晶体管尺寸的缩小以及电源电压和金属‐氧化物‐半导体场效应晶体管本征增益gmrd的相应降低，设计方法发生了变化。因此，基于共源共栅结构的增益级逐渐被淘汰，研究转而推动多级放大器的发展。在此背景下，用于比较不同补偿网络在“速度”方面的主要性能指标仍然是增益带宽积（GBW）。

近年来，由于对精密开关电容（SC）电路和模数转换器[18–26]等高性能离散时间电路的兴趣日益增加，根据建立时间规格设计CMOS放大器受到了越来越多的关注。在文献中，研究主要集中在两级[25, 26]和三级[18–24]运算跨导放大器（OTA），并提出了不同的设计方法。已有研究建议采用零极点抵消以及调整相位裕度（PM）或阻尼因子（ξ）来改善多级放大器的建立时间[18,19]。相反，其他一些工作则利用闭环传递函数和/或数值仿真来优化建立时间性能[20–26]。然而，这些论文中的许多都提供了建立时间与放大器参数之间的复杂关系，从而限制了其在实际设计中的有效应用。其余的研究则未考虑（或未详细分析）元件不可避免的统计变化，在实际电路中可能导致建立时间严重偏离设计值，从而消除优化所付出的努力。本文中，我们形式化并推广了一种基于建立时间规格的互补金属氧化物半导体放大器鲁棒设计的新方法。该方法最初在[27]中以初步且不完整的形式提出，其基础是定义分离因子并分析它们在建立时间中的作用。此外，与[27]中针对适用于驱动大电容外部负载（即超过 100皮法）的运算放大器的设计不同，本文将分析重点放在用于开关电容电路的CMOS放大器上，此类放大器的电容负载与反馈网络中的电容器相匹配，且数量级为几皮法。

本文的结构如下。在第2节和第3节中，我们介绍了分离因子，并分别分析了它们对两级和三极点放大器的稳定性和建立时间的影响。同时，我们定义了归一化建立时间（NST），并展示了当考虑工艺或设计参数不可避免的统计变化时，旨在获得最小可能建立时间的电路设计可能偏离其目标的情况。在第4节中，我们提出了一种设计策略，以实现鲁棒的建立时间，换句话说，确保运算跨导放大器在任何工艺或设计参数的统计变化下均满足建立时间约束。第5节和第6节分别致力于两级和三级放大器的设计方法及晶体管级仿真，以验证所提出的设 计策略。最后，第7节给出了结论。

2. 双极点放大器中的建立时间建模

让我们考虑由双极点环路增益表征的通用反馈放大器

$$
h(s)= \beta a(s)=
\frac{\beta a_0}{(1+ \frac{s}{\omega_d})(1+ \frac{s}{\omega_s})}
$$

其中a(s)是放大器的开环传递函数， β是环路反馈系数，a0是放大器的开环直流增益， ωd和 ωs分别是放大器主极点和第二极点的频率，且满足ωd ≪ ωs。将系统(1)接入反馈后，得到闭环传递函数

$$
A(s)=
\frac{A_0}{1+ \frac{s}{GBW} + \frac{s^2}{GBW \omega_s}} =
\frac{A_0}{1+ \frac{s}{GBW} + \frac{s^2}{GBW^2 K}}
$$

其中A0= a0/(1+βa0)是闭环直流增益，GBW=(1+ βa0)ωd ≈ βa0ωd是放大器的增益带宽积

$$
K= \frac{\omega_s}{GBW}
$$

定义了分离因子，即放大器的第二极点与增益带宽积之间的比率。

分离因子在[28]中被正式引入，并在[4, 29, 30]中用于表示双极点闭环放大器的稳定性程度。事实上，在合理假设增益带宽积近似于转折频率 ωT（即环路增益模值h(s)等于1时的频率）的前提下，分离因子可与相位裕度相关联。

$$
\tan(PM)=
\frac{\omega_s}{\omega_T} ≈ \frac{\omega_s}{GBW} = K
$$

特别是对于纯二阶系统，相位裕度与分离因子之间的更精确关系可以在[31]中找到

$$
K= \frac{\tan^2 (PM)}{\sqrt{\tan^2 (PM)+ 1}}
$$

2.1. 分离因子在建立时间中的作用

为了理解分离因子如何影响建立时间，我们定义归一化建立时间（NST）为通用放大器的建立时间ts与具有相同增益带宽积（GBW）的单极点放大器的建立时间之比。给定精度等级 ε时，单极点放大器的建立时间t(sp)s在附录A的(A.5)式中推导得出。因此，NST定义为

$$
NST= \frac{t_s}{t^{(sp)}_s} = |GBW \ln(\varepsilon)| t_s
$$

为了评估双极点放大器的归一化建立时间，我们将(2)相对于增益带宽积进行归一化

$$
A_n(s_n)= \frac{A_0}{1+ s_n+ \frac{s_n^2}{K}}
$$

并求出对单位阶跃输入的相应时域响应，即，

$$
\begin{cases}
y(T, K)= A_0[1− e^{-\frac{K}{2} T}(\cos\psi T+ c_1 \sin\psi T)] \
c_1= \sqrt{ \frac{K}{4}- K } \
\psi= \sqrt{K(1− \frac{K}{4}) }
\end{cases}
$$

其中，sn = s∕GBW 和 T= GBW ⋅t分别为归一化频率和归一化时间。动态建立误差（DSE）结果为[20, 21, 25]

$$
DSE(T, K)= \frac{y(∞) −y(T)}{y(∞)} = e^{-\frac{KT}{2}}(\cos\psi T+ c_1 \sin\psi T)
$$

且针对给定的响应精度水平 ε，建立时间（归一化到增益带宽积）定义为

$$
T_S(\varepsilon, K)= \min{ \bar{T} : |DSE(T, K)| ≤ \varepsilon \quad \forall T ≥ \bar{T} }
$$

最后，我们可以将归一化建立时间表示为

$$
NST= \frac{T_S(\varepsilon, |K|)}{|\ln(\varepsilon)|}
$$

关系式(11)表达了一个重要结论，即归一化建立时间与放大器增益带宽积无关。结合(6)并进行推导

$$
t_s= \frac{ |\ln(\varepsilon)| }{GBW} × NST
$$

我们观察到，建立时间主要受放大器增益带宽积的影响，但相较于具有相同增益带宽积的单极点放大器的建立时间，它也可能得到改善（归一化建立时间 < 1）或恶化（归一化建立时间 > 1）。

不幸的是，由于公式(9)中DSE的振荡特性，公式(11)的评估并不容易。因此，我们通过数值方法求解了NST，并在图1中绘制了其相对于分离因子K的变化曲线，精度等级为 ε= 0.01= 1%。从图中可以看出， 1. NST 是关于 K 的一个不连续函数；2. 根据 K 的值，NST 可能高于或低于具有相同增益带宽积的单极点放大器的 NST；3. 选择 K 的值以最小化 NST 的策略可能无法得到一个对不可避免的工艺参数统计波动具有鲁棒性的电路，因为在最小值处该函数是不连续的。

这一点需要进一步讨论。让我们考虑图2中所示的两种不同情况。在这两个子图中，标记为 A的点表示电路在标称（典型）条件下的偏置，即没有统计波动的情况。参考图2(a)，显然设计者选择了K= 2.73以获得最小可能归一化建立时间0.55；而在图2(b)的第二种情况下，设计者选择了K= 2.9的值，对应于归一化建立时间0.57。如果我们仅在标称条件下进行分析，则毫无疑问最佳偏置点是图2(a)中所示的第一种情况，实际上，这已在多篇涉及建立时间最小化的论文中成为首选方案[18, 20, 21, 25]。

然而，如果我们考虑到由于工艺或设计参数不可避免的变化所导致的K的统计波动，情况就会发生变化。为了理解这些影响，在图2(a)和

3. 三极点放大器的建立时间建模

在本节中，我们将分离因子的定义进行扩展，以涵盖具有三个极点和两个零点的传递函数这一常见情况。然后，像我们在第2节中所做的那样，利用这一概念来理解它如何影响建立时间特性。

在一般情况下，利用密勒效应实现补偿的三级放大器的环路增益可建模为图3(a)所示的形式。具体而言，该放大器由一个单极点模块和一个反馈连接的双极点放大器级联而成。后者实现了一个内部反馈环路，其传递函数采用公式(2)的形式，其中A0 = 1且GBW′= a′0ωd′和Ki = ω′s∕GBW′分别为内部增益带宽积和内部分离因子。因此，三极点放大器可建模为图3(b)所示结构，其中 ωs =GBW′。显然，为了使整体放大器正常工作，必须对内部反馈环路进行补偿[30]。

在更一般的情况下，我们需要考虑至少两个零点的影响。因此，三级放大器的环路增益可以用具有主极点的三阶系统的传递函数来描述，即

$$
h(s)= \beta a(s)= \frac{\beta a_0}{1+ \frac{s}{\omega_d}} \cdot \frac{1+ b_1s+ b_2s^2}{1+ a_1s+ a_2s^2} = \frac{\beta a_0}{1+ \frac{s}{\omega_d}} \cdot \frac{1+ b_1s+ b_2s^2}{1+ \frac{s}{\omega_s} + \frac{s^2}{\omega_s^2 K_i}}
$$

其中

$$
\omega_s= \frac{1}{a_1}
$$

$$
K_i= \frac{a_2}{a_1^2}
$$

当内部环路足够稳定时，对于Ki ≥ 1成立；如果Ki < 4，则分母中的二阶多项式对应两个共轭复极点。

一旦内部反馈环路设置为稳定状态，它对于整体放大器而言表现为一个单极点模块。在这种情况下，如果我们忽略项 s²/(ωs²Ki)，则(13)中的分母与(1)中的分母相等，其稳定性由(3)中定义的分离因子决定。因此，类比地，我们定义外部分离因子为

$$
K_e = \frac{\omega_s}{GBW} = \frac{1}{a_1 GBW}
$$

这负责外部反馈环路的稳定性。此外，由于稳定性还取决于零点，类比地，我们定义了零点分离因子，即

$$
K_z= \frac{1}{b_1GBW}
$$

$$
K_{zi}= \frac{b_2}{b_1^2}
$$

最后，考虑到(15)–(17)以及 βa0/(1+s/ωd) ≈ GBW/s，我们将(13)相对于增益带宽积进行归一化，从而得到

$$
h_n(s_n)= \frac{1+ \frac{s_n}{K_z} + \frac{s_n^2}{K_z^2 K_{zi}}}{s_n(1+ \frac{s_n}{K_e} + \frac{s_n^2}{K_e^2 K_i})}
$$

这将用于数值方法评估三级放大器的建立时间。在许多常见情况下，第二个零点可忽略（即其位于非常高的频率处），或者可以通过合理设计补偿网络将其消除。在这种情况下，(18)式的分子中仅剩下分离因子Kz，它表示相对于增益带宽积归一化的零点，即Kz= ωz∕GBW。

3.1. 分离因子与稳定性：巴特沃斯准则

对于双极点放大器的情况，同样在三极点放大器中，可以使用分离因子来确定反馈电路的稳定性。例如，在三级放大器的设计中，最初的稳定性准则（可能是最简单的一种）是将闭环频率响应设置为等于三阶巴特沃斯滤波器[2]的响应。通过这种方式，可以获得一个最大平坦的频率响应，从而确保稳定性[7, 30, 32–41]。为简化起见，假设 Kz= Kzi= ∞（即无零点），并将系统(18)闭环反馈连接，则其闭环传递函数变为

$$
A(s)= \frac{1}{1+ \frac{s}{GBW} + \frac{s^2}{GBW^2K_e} + \frac{s^3}{GBW^3K_e^2K_i}}
$$

设Ke= Ki= 2，传递函数变为

$$
A(s)= \frac{1}{1+ 2 \frac{s}{2 GBW} + 2(\frac{s}{2 GBW})^2 +(\frac{s}{2 GBW})^3}
$$

这表征了一个三阶巴特沃斯滤波器，其3 dB截止频率位于 ω0=2 增益带宽积处。然而，如[18, 19, 21]所示，就建立时间性能而言，这不是最佳选择。

3.2. 分离因子与建立时间

将系统(18)以闭环形式连接后，其对单位阶跃输入的归一化时域响应以及相应的动态建立误差将是归一化时间T= GBW ⋅ t和分离因子向量 K=(Ke, Ki, Kz, Kzi)的函数，即y=y(T, K)且 DSE = DSE(T, K)。因此，对于给定的响应精度水平 ε，建立时间定义为

$$
T_S(\varepsilon,K)= \min{ \bar{T} : |DSE(T,K)| ≤ \varepsilon \quad \forall T ≥ \bar{T} }
$$

以及归一化建立时间的结果

$$
NST(\varepsilon,K)= \frac{T_S(\varepsilon, |K|)}{|\ln(\varepsilon)|}
$$

由于我们无法获得NST(ε,K)的闭式解，因此使用Matlab从(18)出发对(22)进行数值计算。图4给出了精度等级为 ε= 0.01且在特殊情况Kz= Kzi= ∞下的NST(ε,K)的等高线图。该图还同时显示了相位裕度PM的等高线图，PM是理解电路稳定性程度时更为常用的参数。

对于不同的Kz和Kzi值，可以获得类似的等高线图，一般而言，我们可以说 1. 归一化建立时间（NST）相对于 K是一个不连续函数（例如，可以看到“0.5”等高线与“0.7”等高线相接触）；2. 根据 K的值，归一化建立时间（NST）可能高于或低于具有相同增益带宽积（GBW）的单极点放大器的归一化建立时间；3. 选择 K的值以最小化归一化建立时间（NST）的策略，可能无法得到一个针对不可避免的工艺参数统计波动具有鲁棒性的电路。

从图4可以明显看出，建议设置Ke= Ki= 2的巴特沃斯准则可使电路在归一化建立时间NST ≈ 1内稳定。同样显然的是，就建立时间而言，这并非最优选择。当Ke= 2.550和Ki= 1.775时，可获得最小归一化建立时间0.425。然而，由于归一化建立时间NST在 K空间中存在不连续点，该条件极为敏感且不具备鲁棒性，因为Ki的任何减小都会导致归一化建立时间NST超过0.7。一种更为鲁棒的方法是选择Ki= 2.22，以确保归一化建立时间NST为< 0.5（即略大于最优值0.425），但这使得电路对Ki的任何 ±20%变化更具容忍性。

4. 实现鲁棒的建立时间

由(12)可知，建立时间ts取决于增益带宽积和归一化建立时间的统计波动。设⟨x⟩和 σx 分别为任意统计变量x的均值和标准偏差。假设增益带宽积和归一化建立时间是两个统计上独立的变量，则由(12)可得建立时间的表达式

$$
\langle t_s \rangle = \frac{ |\ln \varepsilon| }{\langle GBW \rangle \langle NST \rangle}
$$

$$
\frac{\sigma^2_{t_s}}{\langle t_s \rangle^2} = \frac{\sigma^2_{GBW}}{\langle GBW \rangle^2} + \frac{\sigma^2_{NST}}{\langle NST \rangle^2}
$$

然后，在99%置信度下，建立时间的最大百分比变化结果

$$
\delta_{t_s}= \frac{3\sigma_{t_s}}{\langle t_s \rangle} = \sqrt{\delta^2_{GBW}+ \delta^2_{NST}}
$$

其中 δGBW= 3σGBW∕⟨增益带宽积⟩和 δNST= 3σNST∕⟨归一化建立时间⟩。

在放大器的具体设计中，我们关注的不是建立时间的统计行为（如均值和标准偏差），而是由最大建立时间 t(max)s 所表示的“最坏情况”，该值可被评估为

$$
t^{(max)} s ≈\langle t_s \rangle+ 3\sigma {t_s}=\langle t_s \rangle(1+ \delta_{t_s})= \frac{ |\ln \varepsilon| }{\langle GBW \rangle \langle NST \rangle}(1+ \sqrt{\delta^2_{GBW}+ \delta^2_{NST}})
$$

在我们的场景中（即在开关电容电路和模数或数模转换器中），最大建立时间是一个约束条件，因此，(25) 可用作设计方程，以方便地设定标称（平均）增益带宽积，即

$$
\langle GBW \rangle= \frac{ |\ln \varepsilon| }{t^{(max)} s \langle NST \rangle(1+ \sqrt{\delta^2 {GBW}+ \delta^2_{NST}})}
$$

所提出的用于确保(26)必然满足的设计策略是施加

$$
\langle NST \rangle(1+ \sqrt{\delta^2_{GBW}+ \delta^2_{NST}})≤ 1
$$

然后，根据简单方程选择标称GBW

$$
GBW= \frac{ |\ln \varepsilon| }{t^{(max)}_s}
$$

关于(27)，将⟨NST⟩设定在0.6–0.8范围内相对简单。因此，对于 δNST的任意值，我们可以评估满足(27)的 δGBW允许的最大值，即

$$
\delta_{GBW} ≤\sqrt{(\frac{1}{\langle NST \rangle} − 1)^2 − \delta^2_{NST}}
$$

表II列出了某些典型归一化建立时间NST和值的最大允许 δGBW。考虑到增益带宽积的典型百分比误差在15–30%的范围内，我们可以说关系式(27)可以很容易地满足。然而，为了完整性，附录B中讨论了不满足(27)这一不常见的情况。

最后，可以对 δGBW和δNST的统计特性进行一些有趣的分析。在采用基于密勒的补偿的常见OTA结构中，增益带宽积（GBW）取决于第一级跨导Gm1与补偿电容CC之间的比值。因此，项δGBW主要受全局（片间）偏差的影响。相反，项 δNST通过图1所示函数依赖于K，而K又依赖于相似元件的比值（即两个跨导和两个电容的比值）。因此，K主要受局部（片内）偏差的影响，并如第2.1节末尾所述影响归一化建立时间（NST）。

面向建立时间规格的CMOS放大器鲁棒设计

5. 采用MC‐NR的两级放大器设计策略

在本节中，我们为图5中的放大器提供了一种设计策略，该放大器假设应用于图6的开关电容上下文中，并且要求最大1%建立时间由t(max)s设定。在这种情况下，在采样阶段 φ1，放大器上的信号不发生变化，而在评估阶段φ2，反馈系数 β和负载电容CL均存在

$$
\beta= \frac{C_f}{C_s+ C_f}
$$

$$
C_L= C_o+ \frac{C_sC_f}{C_s+ C_f}
$$

该放大器由两个跨导级Gm1和Gm2构成，分别在节点1和2处产生高增益。根据单个晶体管的跨导（gmi），我们有Gm1= gm1,2和Gm2= gm6。所采用的带消零电阻的密勒补偿（ MC‐NR）将主极点设置在节点1，此处电容CC被第二级的增益放大。

最后，设置RC= 1∕Gm2，可消除右半平面零点。在评估阶段，之前存储在Cs中的电荷被转移到Cf，且闭环传递函数呈现(2)中的形式，其中A0= Cs∕Cf和

$$
GBW= \frac{\beta G_{m1}}{C_C}
$$

$$
K= \frac{G_{m2}C_C}{\beta G_{m1}C_L}
$$

在设计流程中，我们假设Cf、Cs和Co已知，并且第一级的跨导Gm1也已知，因为通常它由噪声指标决定。将(28)与(31a)相等，我们得到作为建立时间函数的补偿电容CC，即

$$
C_C= \frac{\beta G_{m1} t^{(max)}_s}{ |\ln \varepsilon| }
$$

然后，从图1中选择K，使得标称NST位于0.6–0.8范围内，并根据(31b)计算Gm2，如

$$
G_{m2}= \frac{K C_L |\ln \varepsilon| }{t^{(max)}_s}
$$

在工艺过程中，我们进行蒙特卡洛仿真以验证关系式(27)是否满足。

5.1. 设计实例和仿真结果

为了验证设计流程，我们使用AMS提供的0.35‐μm互补金属氧化物半导体工艺设计了图5中的两级放大器。电源电压设置为2 V，并假设该放大器用于图6的开关电容上下文中。由于我们关注评估阶段的阶跃响应，所有仿真均使用图7中的等效原理图进行。两个大电阻Rf和Rs（ ∼ 10 MΩ）在积分器上构成直流反馈，并通过约束条件RsCs= Rf Cf进行设置，以避免影响整体传递函数。输入信号是一个电压阶跃，其幅度等于采样阶段存储在Cs上的电压，但符号相反。选择的阶跃幅度不会过高，以免激活放大器的压摆率限制，因为我们关注的是对线性行为的深入理解和验证。这并不是一个严重限制，因为可以采用AB类或增强压摆率的级来消除压摆率的影响。

我们假设开关电容上下文要求最大1%建立时间为50ns，且Cs= 2Cf =2Co= 2 pF（因此 β= 1∕3且CL= 1.67 pF）。我们还假设跨导的第一级的跨导由噪声指标限定为 120 μA/V。设计从(28)式开始，得到增益带宽积GBW为= 14.66 MHz。因此，利用(32)式，计算出补偿电容为CC= 434 fF。然后，根据图1，设定K= 2.8，对应的标称NST约为0.6。由表II可知，若 δNST等于50%，则当δGBW低于44%时，放大器满足建立时间规格。最后，根据(33)式，求得Gm2= 430 μA/V。

最终晶体管宽长比和其他元件参数如表III所示。偏置电流设置为IB= 20 μA，总功耗为 120 μW。需要注意的是，由于寄生元件的影响，在仿真过程中需要对CC和RC进行微调，以达到正确的GBW值14.66 MHz，并分别最小化上升和下降输出阶跃的标称NST。

进行了一次400次蒙特卡洛仿真，考虑了片内（工艺）和片间（失配）变化。显著参数以 μ ± 3σ的形式总结在表IV中。对于下降输出阶跃，仿真报告了⟨NST⟩= 0.6, δNST= 38%和 δGBW= 22%，因此(27)的左边结果为0.86，确保建立时间不会超过50ns的目标值。具体而言，上升输出阶跃和下降输出阶跃的建立时间直方图如图8所示。与预期一致，最坏情况建立时间约为45纳秒，从而验证了所提出的设计流程。

6. 带NMC‐NR的三级放大器的设计策略

嵌套密勒补偿（NMC）用于补偿具有第二非反相级和第三反相级的三级放大器。具体而言，主补偿电容CC1连接第三级输出与第一级输出，次级补偿电容CC2连接第三级输出与第二级输出。由于此类补偿会产生可能导致不稳定的右半平面零点，因此在补偿支路中引入补偿电阻 RC。RC的作用是消除右半平面零点的有害影响，因此也被称为消零电阻（NR），该补偿方式称为带消零电阻的嵌套密勒补偿，或NMC‐NR[42, 43]。最终简化框图如图9所示。假设 GmiRoi ≫ 1且寄生电容Coi的影响可忽略，所得开环增益传递函数形式如(13)所示其中

$$
a_0= G_{m1}R_{o1}G_{m2}R_{o2}G_{m3}R_{o3}
$$

$$
\omega_d= R_{o1}C_{C1}G_{m2}R_{o2}G_{m3}R_{o3}
$$

$$
b_1= R_CC_{C1}+(R_C - \frac{1}{G_{m3}}) C_{C2}
$$

$$
b_2= \frac{G_{m3}R_C - 1}{G_{m2}G_{m3}} C_{C1}C_{C2}
$$

$$
a_1=( \frac{1}{G_{m2}} - \frac{1}{G_{m3}}) \frac{C_{C2}}{G_{m2}}
$$

$$
a_2= \frac{1- G_{m2}R_C}{G_{m2}G_{m3}} \frac{C_{C2}C_L}{G_{m2}G_{m3}}
$$

设置RC= 1∕Gm3，传递函数简化为

$$
h(s)= \frac{\beta a_0}{1+ \frac{s}{\omega_d}} \cdot \frac{1+ \frac{C_{C1}}{G_{m3}} s}{1+(1- \frac{G_{m2}}{G_{m3}}) \frac{C_{C2}}{G_{m2}} s+(1- \frac{G_{m2}}{G_{m3}}) \frac{C_{C2}C_L}{G_{m2}G_{m3}} s^2}
$$

并且，考虑到(15)–(17)，分离因子的结果为

$$
K_e= \frac{G_{m3}C_{C1}}{\beta G_{m1}C_{C2}( \frac{G_{m3}}{G_{m2}} - 1)}
$$

$$
K_i=(\frac{G_{m3}}{G_{m2}} - 1) \frac{C_{C2}}{C_L}
$$

$$
K_z= \frac{G_{m3}}{\beta G_{m1}} = K_eK_i \frac{C_L}{C_{C1}}
$$

$$
K_{zi}= \infty
$$

因为Kz是乘积KeKi的函数，如果我们知道比值 βGm1∕Gm3或比值CC1∕CL中的任意一个，就可以利用(18)和Matlab仅建立归一化建立时间关于Ke和Ki的等高线图。然后，在设计阶段可以利用该等高线图选择最合适的Ke和Ki值。

6.1. 设计流程

在本节中，我们提供了一种针对图10所示三级放大器的设计流程，该放大器假设应用于图6的开关电容上下文中，并要求最大1%建立时间由t(max)s设定。反馈系数 β和负载电容CL由(30)定义。

该放大器由三个跨导级组成，即Gm1、Gm2和Gm3，分别在节点1、2和3处产生高增益。相对于单个晶体管的跨导（gmi），我们有Gm1= gm1,2，Gm2= gm6(gm8∕gm7)以及Gm3= gm10。嵌套密勒补偿将主极点设置在节点1，此处电容CC1被第二级和第三级的增益所放大。

环路增益的传递函数具有(35)中的形式，其中

$$
GBW= \frac{\beta G_{m1}}{C_{C1}}
$$

分离因子由(36)给出。

在设计流程中，我们假设Cf、Cs和Co已知，并且第一级的跨导Gm1也已知，并由噪声指标确定。将(28)与(37)相等，可得补偿电容

$$
C_{C1} = \frac{\beta G_{m1} t^{(max)}_s}{ |\ln \varepsilon| }
$$

然后，利用(18)和(36c)，我们构建归一化建立时间的等高线图，并用它来选择期望的Ke和 Ki值。此时，关系式(36a)和(36b)为剩下的三个未知量CC2、Gm2和Gm3提供了两个方程。我们选择为Gm2设定一个合理的值，并利用(36a)和(36b)求解剩下的两个设计方程。

$$
G_{m3}= C_LK_eK_iGBW
$$

$$
C_{C2}= \frac{K_iC_L}{\frac{G_{m3}}{G_{m2}} - 1}
$$

在工艺过程中，我们进行蒙特卡洛仿真以验证关系式(27)是否满足。

6.2. 设计实例和仿真结果

为了验证设计流程，我们使用意法半导体提供的65纳米CMOS工艺设计了图10中的三级放大器。具体而言，我们采用了一对互补型晶体管，其主要特性为tox ∼ 1.3nm，VTn ∼ 300 mV，以及VTp ∼ 240 mV。我们假设该放大器应用于图6的开关电容上下文中。同样，由于我们关注的是评估阶段的阶跃响应，所有仿真均使用图7中的等效原理图进行。

我们假设放大器的建立时间需小于50ns，精度为1%精度，且Cs= 2Cf = 2Co= 2 pF（因此β= 1∕3且CL= 1.67 pF）。此外，我们还假设第一级的跨导由于噪声指标的要求被限定为 120 μA/V。

由(38)可得CC1 = 434 fF，其对应的增益带宽积为14.66 MHz，该值由(28)式得出。然后将(36c)– (36d)代入(18)，并利用该归一化传递函数绘制出图11所示的归一化建立时间等高线图。该图显示，当Ke = 2.275和Ki = 1.875时，获得最小归一化建立时间为0.437。将上述Ke和Ki的取值代入，并设定Gm2 = 150 μA/V，再由(39)计算得到Gm3 = 655 μA/V 和 CC2 = 928 fF。最后，设定RC = 1∕Gm3 = 1.52 kΩ。

晶体管宽长比和其他元件参数如表V所示。电源电压设置为1伏，偏置电流为IB = 10 μA，总功耗为 90 μW。

在仿真阶段，由于晶体管的本征增益较低（gmr d ∼ 20 dB），导致节点1和2处的寄生电容影响显著，因此需要对CC1进行微调，以达到14.66 MHz的正确GBW值。在第二步中，需要进一步对CC2进行微调，以最小化上升和下降输出阶跃的标称NST。

进行了400次蒙特卡洛仿真，同时考虑了片内（工艺）和片间（失配）变化。显著参数以μ ±3σ的形式总结于表VI中。对于上升输出阶跃，我们有⟨NST⟩= 0.6, δNST= 50% δGBW= 17%；因此，(27)的左侧为0.92，确保建立时间不会超过50纳秒的目标值。具体而言，上升输出阶跃和下降输出阶跃的建立时间直方图如图12所示。正如预期，最坏情况建立时间约为41纳秒，从而验证了所提出的设计流程。

7. 结论

本文提出了一种基于建立时间规格的CMOS运算跨导放大器鲁棒设计的新策略。该方法基于分离因子的定义及其在建立时间中作用的分析。通过分离因子定义了一种设计策略，以实现具有鲁棒性的建立时间，换句话说，确保运算跨导放大器在工艺或设计参数的任何统计变异下均满足建立时间约束。所提出的设计策略已应用于两级放大器和三级放大器的晶体管级设计。仿真结果与理论高度一致，验证了该方法的有效性。