省选专练之斜率优化[HNOI2008]玩具装箱toy

最新推荐文章于 2021-07-21 19:41:25 发布

LauZiyang

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分类专栏： HNOI 2008 DP优化动态规划

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/fcb_x/article/details/81736958

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本文介绍了一种基于斜率优化的算法，用于求解特定数学问题中的最优解。通过定义新函数并转换为斜率形式，实现了对复杂计算的有效简化。算法使用了前缀和与动态规划思想，通过维护一个单调队列来更新最优解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

定义：S（i）为长度前缀和

易得： $F_{i}=\sum_{j=1}^{i-1}min(F_{j}+(S_{i}-S_{j}-L-1)^{2})$

由于L是常数L++

令K为当前最优解

则 $F_{k}+(S_{i}-S_{k}-L)^{2}<F_{j}+(S_{i}-S_{k}-L)^{2}$

展开

$F_{k}-2S_{i}S_{k}+2S_{k}L+S_{k}^{2}<F_{j}-2S_{i}S_{j}+2S_{j}L+S_{j}^{2}$

定义新函数 $G_{k}=F_{k}+S_{k}^{2}+2S_{k}L$

带回原式

$G_{k}-G_{j}<2S_{i}(S_{k}-S_{j})$

转为斜率式

$\frac{G_{k}-G{j}}{S_{k}-S_{j}}<2S_{i}$

完毕

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+1000;
typedef int INT;
#define int long long
int L,n;
double S[N];
int F[N];
int l,r;
int Q[N];
double Snow;
double Y(int k){
	return (double)F[k]+S[k]*S[k]+2*S[k]*L;
}
double X(int Id){
	return S[Id];
}
double Slope(int k,int t){
	return (Y(t)-Y(k))/(X(t)-X(k));
}
INT main(){
//	freopen("1995.in","r",stdin);
	scanf("%lld%lld",&n,&L);L++;
	l=r=1;
	Q[1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf",&S[i]);
		S[i]+=S[i-1];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)S[i]+=i;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(l<r&&Slope(Q[l],Q[l+1])<2*(S[i]))l++;
		int Id=Q[l];
//		cout<<i<<" "<<Id<<'\n';
		F[i]=F[Id]+(S[i]-S[Id]-L)*(S[i]-S[Id]-L);
		while(l<r&&Slope(Q[r-1],Q[r])>Slope(Q[r],i))r--;Q[++r]=i;
	}
	cout<<F[n];
}