省选专练SDOI2015约数个数和

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莫比乌斯反演（拉格朗日反演）

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本文介绍了一种高效计算与质因数分解和莫比乌斯函数相关的数学问题的方法。通过预处理得到莫比乌斯函数及其前缀和，用于快速求解涉及约数个数的问题。

然后对于trunc（N/D）只有根号n个解，跳就完了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define ll long long 
const int MAXN=55000;
bool vis[60000]={0};
ll prim[60000]={0};
ll cnt=0;
ll mu[60000]={0};//莫比乌斯函数 
ll sum_mu[60000]={0};//莫比乌斯函数的前缀和 
ll sum_f[60000]={0};//约数的前缀和 
ll e[60000]={0};//当前最大此项质因数的系数 
ll f[60000]={0};//约束和 
void prime_pre(){
	mu[1]=e[1]=f[1]=1;
	for(ll i=2;i<=MAXN;i++){
		if(!vis[i]){
			cnt++;
			prim[cnt]=i;
			f[i]=2;
			mu[i]=-1;
			e[i]=1;
		}
		for(ll j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=MAXN;j++){
			vis[prim[j]*i]=1;
			if(i%prim[j]==0){
				f[i*prim[j]]=f[i]/(e[i]+1)*(e[i]+2);
				e[i*prim[j]]=e[i]+1;
				break;
			}
			mu[i*prim[j]]=-mu[i];
			f[i*prim[j]]=f[i]*f[prim[j]];
			e[i*prim[j]]=1;
		} 
	}
	for(ll i=1;i<=MAXN;i++){
		sum_mu[i]=sum_mu[i-1]+mu[i];
		sum_f[i]=sum_f[i-1]+f[i];
	}
}
int main(){
	ll T;
	scanf("%lld",&T);
	prime_pre();
	while(T--){
		ll n,m;
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		if(n>m){
			swap(n,m);
		}
		ll ans=0;
		for(ll i=1,nxt;i<=n;i=nxt+1){
			nxt=min(n/(n/i),m/(m/i));
			ans+=(sum_mu[nxt]-sum_mu[i-1])*sum_f[n/i]*sum_f[m/i];
			
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}	
}