[bzoj3994][SDOI2015]约数个数和

最新推荐文章于 2019-07-04 22:58:56 发布

FZHvampire

最新推荐文章于 2019-07-04 22:58:56 发布

阅读量1k

点赞数 2

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/FZHvampire/article/details/50953407

数论专栏收录该内容

13 篇文章

订阅专栏

本文详细解析了SDOI2015竞赛题目“约数个数和”的算法实现过程，通过数学变换将原问题转化为求解更简单的数学形式，并采用分块统计的方法进行高效计算。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

3994: [SDOI2015]约数个数和

Time Limit: 20 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 505 Solved: 329
[Submit][Status][Discuss]
Description

设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求 $\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$
Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来的T行，每行两个整数N、M。
Output

T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

7 4

5 6
Sample Output

110

121
HINT

1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

首先需要知道一个结论：

\sum i = 1 n \sum j = 1 m d (i j) = \sum i = 1 n \sum j = 1 m ⌊ n i ⌋ ⌊ m j ⌋ [g c d (i, j) = = 1]

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor[gcd(i,j)==1]$
这个的证明可以去看PO姐的博客。

\sum i = 1 n \sum j = 1 m ⌊ n i ⌋ ⌊ m j ⌋ [g c d (i, j) = = 1]

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor[gcd(i,j)==1]$

\sum i = 1 n \sum j = 1 m \sum d | i, d | j μ (d) ⌊ n i ⌋ ⌊ m j ⌋

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor$

\sum d = 1 m i n (n, m) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ μ (d) ⌊ n i ⌋ ⌊ m j ⌋

$\sum_{d=1}^{min(n,m)}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\mu(d)\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\lfloor\frac{m}{j}\rfloor$

\sum d = 1 m i n (n, m) μ (d) \sum i = 1 ⌊ n d ⌋ ⌊ n i ⌋ * \sum j = 1 ⌊ m d ⌋ ⌊ m j ⌋

$\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor*\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{m}{j}\rfloor$
可以发现后面的两个式子是一样的，都是：f[x]=

∑xi=1⌊xi⌋ $\sum_{i=1}^{x}\lfloor\frac{x}{i}\rfloor$ 表示i这个数对1~x的所有数的约数的贡献。所以f[x]表示的也就是1~x的约数个数和。
这样式子就变成了：

\sum d = 1 m i n (n, m) μ (d) f [⌊ n d ⌋] f [⌊ m d ⌋]

$\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)f[\lfloor\frac{n}{d}\rfloor]f[\lfloor\frac{m}{d}\rfloor]$
我们对于

μ(x) $\mu(x)$ 求一下前缀和，然后分块统计就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
#define LL long long
const int N=50000;
LL ans;
bool flag[N+10];
int prime[N+10],f[N+10],g[N+10],n,m,T,u[N+10];
inline void prepare(){
    int i,j;
    for(u[1]=f[1]=1,i=2;i<=N;++i){
        if(!flag[i]){
            prime[++prime[0]]=i;
            u[i]=-1;
            f[i]=2;
            g[i]=1;
        }
        for(j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<=N;++j){
            flag[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0){
                u[i*prime[j]]=0;
                g[i*prime[j]]=g[i]+1;
                f[i*prime[j]]=f[i]/(g[i]+1)*(g[i]+2);
                break;
            }
            u[i*prime[j]]=-u[i];
            g[i*prime[j]]=1;
            f[i*prime[j]]=f[i]*2;
        }
    }
    for(i=2;i<=N;++i) f[i]+=f[i-1],u[i]+=u[i-1];
}
int main(){
    prepare();
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int i,pos;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(ans=0,i=1;i<=min(n,m);i=pos+1){
            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(LL)(u[pos]-u[i-1])*f[n/i]*f[m/i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}