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分数规划（01分数规划/最优比例环/最优比例生成树）

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本文深入探讨了最大权闭合图问题的解决方法，通过将边权转化为点权并构建特殊图结构来实现。文章详细介绍了算法的实现过程，并提供了一个具体的编程示例，包括如何使用SPFA算法进行最短路径搜索以及基于此的增广路查找。

做过的大概是最难的01规划了吧。

这个是精髓。

然后就是一个又有边权又有点权的最大权闭合图问题。

BZOJ2127，BZOJ2039。

这两个做了就会了。

把一个边拆成新点点权为边权。

连有向边向u，v。

原理来自定义。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm> 
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;
const int INF=1e9+10;
const int N=40000;
inline void read(int &x){
	x=0;
	int f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-')
			f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		x=x*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	x*=f;
}
int n,S,T;
int p[101][101]={0};
int edge[101][101]={0};
struct Front_star{
	int u,v,nxt;
	double w;
}e[N*4];
int cnt=1;
int tot=0;
int first[N]={0};
void addedge(int u,int v,double w){
	cnt++;
	e[cnt].u=u;
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].nxt=first[u];
	first[u]=cnt;
}
void add(int u,int v,double w){
	addedge(u,v,w);
	addedge(v,u,0);
}
double pos=0;
void build_gra(double sum){
	cnt=1;
	memset(first,0,sizeof(first));
	pos=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<i;j++){
			add(edge[i][j],i,INF);
			add(edge[i][j],j,INF);
			if(p[i][j]+2*sum<0){
				add(edge[i][j],T,-(p[i][j]+2*sum));
			}
			else{
				pos+=(p[i][j]+2*sum);
				add(S,edge[i][j],(p[i][j]+2*sum));
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(-199.0*sum>0){
			pos+=-(199.0*sum);
			add(S,i,-(199.0*sum));
		}
		else{
			add(i,T,199.0*sum);
		}
	}
}
int d[N]={0};
queue<int> q;
bool SPFA(){
	for(int i=S;i<=T;i++){
		d[i]=-1; 
	}
	q.push(S);
	d[S]=1;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		for(int i=first[x];i;i=e[i].nxt){
			int v=e[i].v;
			if(e[i].w&&d[v]==-1){
				d[v]=d[x]+1;
				q.push(v);
			}
		}
	}
	return d[T]!=-1;
}
double dfs(int st,int ed,double nowdat){
	if(st==ed){
		return nowdat;
	}
	double dat=0;
	for(int i=first[st];i;i=e[i].nxt){
		int v=e[i].v;
		if(e[i].w&&d[v]==d[st]+1){
			double now=min(e[i].w,nowdat-dat);
			now=dfs(v,ed,now);
			dat+=now;
			e[i].w-=now;
			e[i^1].w+=now;
			if(dat==nowdat){
				return dat;
			}
		}
	}
	if(!dat){
		d[st]=-2;
	}
	return dat;
}
double check(){
	double s=0;
	while(SPFA()){
		s+=dfs(S,T,INF);
	}
//	cout<<pos<<" "<<s<<endl;
	return pos-s;
}
int main(){
	read(n);
	tot=n+1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		char ch[130];
		scanf("%s",ch);
		for(int j=0;j<n;j++){
			p[i][j+1]=ch[j]-'0';
			edge[i][j+1]=++tot;
		}
	}
	/*for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			cout<<p[i][j]<<endl;
		}
	}*/
//	cout<<tot<<endl;s
	S=0;
	T=++tot;
//	cout<<tot<<endl;
//	build_gra(0.2);
//	cout<<(double)check();
	double l=0;
	double r=200000+20;
	double eps=0.0000000001;
	while(r-l>eps){
		double mid=(l+r)/2;
		build_gra(mid);
//		cout<<l<<" "<<r<<" "<<mid<<endl;
		if(check()>(double)0){
			l=mid;
		}
		else{
			r=mid;
		}
//		cout<<l<<" "<<r<<endl;
	}
	printf("%.7lf",l);
}