2.2 时间不变系统

2.2 时间不变系统

2.2 时间不变系统

时间不变性大致意味着输出与施加输入的时间无关。例如，如果将人体看作一个系统，乌塞恩·博尔特在一天中的不同时间会以不同的速度奔跑。实际上，人体在下午晚些时候或傍晚时的体能表现最佳，在这个时间段打破的奥运会记录显著多于其他时间。如果该系统是时间不变的，那么运动员在任何时间都会表现出类似的表现，无论比赛是在一天中的何时举行。

从技术上讲，如果输入序列沿时间轴移动，且输出序列相应地沿时间轴移动，并且没有其他变化，则系统被称为时间不变的。因此，如果输入 s[n]s[n]s[n] 生成输出 r[n]r[n]r[n]，那么

$$s[n-n_0] \quad \rightarrow \quad r[n-n_0]$$

换句话说，如果输入信号被延迟了 n0n_0n0​ 个单位，输出也仅延迟 n0n_0n0​ 个单位，且其余部分保持完全相同。一个系统是否是时间不变的，可以通过以下步骤确定：

1. 将输入信号 s[n]s[n]s[n] 延迟 n0n_0n0​ 个采样，得到 s[n−n0]s[n-n_0]s[n−n0​]。找到该输入的输出 r1[n]r_1[n]r1​[n]。
2. 将输出信号 r[n]r[n]r[n] 延迟 n0n_0n0​ 个采样，得到 r[n−n0]r[n-n_0]r[n−n0​]。称新的输出为 r2[n]r_2[n]r2​[n]。
3. 如果 r1[n]=r2[n]r_1[n] = r_2[n]r1​[n]=r2​[n]，那么系统是时间不变的。否则，它是时间变化的。

示例 2.2

考虑一个系统

$$r[n] = s[n] + s[n-3]$$

我们将遵循上述步骤来确定该系统是否为时间不变系统。

1. 将输入信号延迟 n0n_0n0​ 个采样，对应于 s[n−n0]s[n-n_0]s[n−n0​] 的输出为
   r1[n]=s[n−n0]+s[n−n0−3]r_1[n] = s[n-n_0] + s[n-n_0-3]r1​[n]=s[n−n0​]+s[n−n0​−3]
2. 将输出信号延迟 n0n_0n0​ 个采样，得到
   ​r2[n]=s[n−n0]+s[n−3−n0]r_2[n] = s[n-n_0] + s[n-3-n_0]r2​[n]=s[n−n0​]+s[n−3−n0​]
3. 由于 r1[n]=r2[n]r_1[n] = r_2[n]r1​[n]=r2​[n]，这个系统是时间不变的。

现在，考虑另一个系统

$$r[n] = n s[n]$$

并应用相同的步骤。

1. 将输入信号延迟 n0n_0n0​ 个采样，对应于 s[n−n0]s[n-n_0]s[n−n0​] 的输出为
   r1[n]=ns[n−n0]r_1[n] = n s[n-n_0]r1​[n]=ns[n−n0​]
2. 将输出信号延迟 n0n_0n0​ 个采样，得到
   r2[n]=(n−n0)s[n−n0]r_2[n] = (n-n_0) s[n-n_0]r2​[n]=(n−n0​)s[n−n0​]
3. 由于 r1[n]≠r2[n]r_1[n] \neq r_2[n]r1​[n]=r2​[n]，这个系统是时间变化的。

换句话说，如果延迟的顺序不影响系统输出，那么该系统是时间不变的。即

$$s[n] \rightarrow \text{延迟} \rightarrow \text{系统} \rightarrow \text{输出 } r_1[n]$$

等同于

$$s[n] \rightarrow \text{系统} \rightarrow \text{延迟} \rightarrow \text{输出 } r_2[n]$$

2.3 系统表征

在了解了系统的一些特性后，问题是：我们应该如何在时间域和频率域中表征一个系统？我们现在看到，脉冲响应和频率响应是表征系统在时间域和频率域的工具。我们将从对脉冲响应的描述开始。

脉冲响应

顾名思义，脉冲响应就是系统对单位脉冲 δ[n]\delta[n]δ[n] 作为输入的输出响应。脉冲响应也是一个信号序列，通常表示为 h[n]h[n]h[n]。

例如，当吉他弦被拨动时，前后振动会在一段时间内扰动周围的空气分子：这就是脉冲响应。类似地，当系统被一个单位脉冲信号“触发”时，它生成的完整采样序列可以视为其脉冲响应。

例如，如果系统只是将任意输入信号延迟3个采样，则脉冲响应 h[n]h[n]h[n] 将是延迟3个采样的 δ[n]\delta[n]δ[n]。

$$h[n] = \delta[n-3]$$

当然，实际系统的脉冲响应 h[n]h[n]h[n] 更为复杂。图2.4中的示例展示了两个脉冲响应 hI[n]h_I[n]hI​[n] 和 hQ[n]h_Q[n]hQ​[n]，以突出系统的脉冲响应 h[n]h[n]h[n] 通常是一个复杂的时间信号。

​​

图2.4：脉冲响应 h[n]h[n]h[n] 是系统对输入 δ[n]\delta[n]δ[n] 的输出。

频率响应

根据脉冲响应的定义，可以推测系统的频率响应定义为脉冲响应的离散傅里叶变换（DFT） 。

$$h[n] \xrightarrow{F} H[k]$$

根据DFT的定义：

$$H_I[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \left[ h_I[n] \cos \frac{2\pi k}{N} n + h_Q[n] \sin \frac{2\pi k}{N} n \right]\\H_Q[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \left[ h_Q[n] \cos \frac{2\pi k}{N} n - h_I[n] \sin \frac{2\pi k}{N} n \right]\tag{2.2}$$

问题是，这种响应在频域中意味着什么？回顾第1.10.3节中的内容，时间域中单个脉冲的DFT是频域中的一个全一矩形序列，这实际上是由 NNN 个幅度相等的复数正弦波组成的。

当一个脉冲输入到时域的系统时，具有相等幅度的 NNN 个复正弦波序列被输入到频域的系统中。图2.5展示了系统频率响应的一个示例。

​​

图2.5：系统对所有 NNN 个频率的复正弦波的响应的频率响应 H[k]H[k]H[k]。

频率响应 H[k]H[k]H[k] 通常是一个复杂的频率信号。然而，为了简化频域信号的可视化，3D频率响应被绘制，而不是像图2.4那样分开绘制 III 和 QQQ 部分。

‍