1.9 时移在频域中的影响

1.9 时移在频域中的影响

将一个余弦信号向右移T/4，其中T是其周期T = 1/F。

$$\cos 2\pi Ft \left( t - \frac{T}{4} \right) = \cos \left( 2\pi Ft - 2\pi F \frac{T}{4} \right) = \cos \left( 2\pi Ft - \frac{\pi}{2} \right) = \sin 2\pi Ft$$

其中时间移-T/4在频域中引入了-π/2的相位偏移。这是有道理的，因为如果两个复正弦波在时域中相加以生成跨度为360°的余弦波，那么-1/4周期360°的移位就是-90°。这一点在图1.52中得以说明。

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图1.52： 在时间IQ平面上，余弦波移位T/4后变成正弦波。在频率IQ平面中，相应的相位移为π/2。

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图1.53： 实际余弦波的相位描述源自两个复正弦波的相位。

这就是为什么在图1.53中，你经常会看到实际余弦波的相位描述。以参考时间为准，这些相位是由于频率IQ平面中两个复正弦波的取向，呈现出一种更有趣的视角（尽管可以应用诸如cos 0 = 1, cos π/2 = 0之类的简单三角公式来查看这种相位关系）。

现在，评估一般时间移n₀样本的离散时间复正弦波。

$$I \to \cos 2\pi \frac{k}{N} (n + n₀) = \cos \left( 2\pi \frac{k}{N} n + 2\pi \frac{k}{N} n₀ \right)$$$$Q \to \sin 2\pi \frac{k}{N} (n + n₀) = \sin \left( 2\pi \frac{k}{N} n + 2\pi \frac{k}{N} n₀ \right)$$

有两种方法可以解释这个表达式。

时移对DFT的影响 - 幅度和相位

该复正弦波可以视为经历了等于 2π(k/N)n02\pi (k/N) n_02π(k/N)n0​ 的相位偏移。由于信号的DFT只是N个具有不同 k/Nk/Nk/N 值的复正弦波的组合，所以DFT的相位在考虑每个 kkk 时，变为离散频率 k/Nk/Nk/N 的线性函数。

$$相位偏移 =2\pi \frac{k}{N} n_0 = 常量 \cdot \frac{k}{N}$$

其中常量项或斜率取决于圆周时间偏移 n0n_0n0​。此外，索引 kkk 越大，相位偏移越大。这样一个相位图在图1.54中为正 n0n_0n0​ 绘制。

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图1.54： 线性相位：为正 n0n_0n0​ 绘制的随频率指数 kkk 线性变化的相位图。

总之，s~[n]=s[(n+n0)mod  N]\tilde{s}[n] = s[(n + n_0) \mod N]s~[n]=s[(n+n0​)modN] 的DFT的幅度保持不变。然而，其相位随着每个 kkk 被 2π(k/N)n02\pi (k/N) n_02π(k/N)n0​ 旋转。我们将旋转后的DFT表示为 S~[k]\tilde{S}[k]S~[k]。

$$|\tilde{S}[k]| = |S[k]| \\ \angle \tilde{S}[k] = \angle S[k] + 2\pi \frac{k}{N} n_0 \tag{1.57}$$

我们可以将上述结果总结为：

$$时移 s[(n \pm n_0) \mod N]\longrightarrow\pm 2\pi \frac{k}{N} n_0 相位偏移 \tag{1.58}$$

这种观点在描述时移的影响时大多被采用，并且在数学目的上效果很好。

时移对DFT的影响 - I和Q

一个更有趣的观点来自于关注频域中I和Q样本。让我们将一个脉冲信号 δ[n]\delta[n]δ[n] 通过 n0n_0n0​ 进行移位。将 s[n]=sI[n]=δ[(n+n0)mod  N]s[n] = s_I[n] = \delta[(n + n_0) \mod N]s[n]=sI​[n]=δ[(n+n0​)modN] 插入DFT定义的公式中（见公式1.53），并利用在 n=−n0n = -n_0n=−n0​ 处为1且在其他地方为0的事实，

$$I \rightarrow S_I[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \cos 2\pi \frac{k}{N}(-n_0) = N \cos 2\pi \frac{k}{N} n_0$$$$Q \rightarrow S_Q[k] = \sum_{n=0}^{N-1} -\sin 2\pi \frac{k}{N}(-n_0) = N \sin 2\pi \frac{k}{N} n_0$$

对于每个 kkk，它代表了具有幅度 NNN 的频域复正弦波！让我们通过一个例子来探讨它。

例子1.5

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图 1.55：时间中的样本移位会在频率中产生相位移。

图1.55展示了一个单位脉冲信号 sI[n]s_I[n]sI​[n] 及其DFT S[k]S[k]S[k] ，以及它的循环时移版本 s[(n−1)mod  5]s[(n - 1) \mod 5]s[(n−1)mod5] 和其DFT S~[k]\tilde{S}[k]S~[k] 。

注意：每个频率单元 kkk 的相位偏移不同。具体来说，相位偏移 Δθ(k)=2π(k/N)⋅(−1)\Delta \theta(k) = 2\pi (k/N) \cdot (-1)Δθ(k)=2π(k/N)⋅(−1)。对于 k=−2k = -2k=−2 到 k=2k = 2k=2 和 N=5N = 5N=5，结果如下：

$$k = 0 \rightarrow \Delta \theta(0) = 2\pi \frac{0}{5}(-1) \times \frac{180°}{\pi} = 0°$$$$k = \pm1 \rightarrow \Delta \theta(\pm1) = 2\pi \frac{\pm1}{5}(-1) \times \frac{180°}{\pi} = \pm72°$$$$k = \pm2 \rightarrow \Delta \theta(\pm2) = 2\pi \frac{\pm2}{5}(-1) \times \frac{180°}{\pi} = \pm144°$$

相位旋转为72°和144°如图所示。另请注意，对于正移位，正 kkk 时相位旋转为顺时针，而负 kkk 时为逆时针。

要理解这个频域复正弦波，请回想一下，在频率 FFF 上旋转的时域复正弦波在时间IQ平面上生成螺旋线。这样的复正弦波在频域中表现为单个脉冲位于 +F+F+F 处。这就是我们如何在频率轴上定义每个“刻度”的方式。

由于时间和频率是相互对偶的，图 1.55 中所绘制的这个例子中的时域脉冲必须有一个相应的频域复正弦波。

时域脉冲 ⟷\longleftrightarrow⟷ 频域复正弦波 (1.59)

而这正是相位移 2π(k/N)n0N\frac{2\pi (k/N)n_0}{N}N2π(k/N)n0​​ 作为 kkk 函数的意义所在。这一点在图 1.56 中展示，其中 n0=−1n_0 = -1n0​=−1 是图 1.55 右下角的重绘版本。这里重要的一点是频率指数 kkk 是这个频域复正弦波的变量。另一方面，时间移位 n0n_0n0​ 是该正弦波的倒数周期，在表达式 2πFt2\pi Ft2πFt 中扮演类似于频率 FFF 的角色。

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图 1.56：图 1.55 右下角子图的重绘版本，显示了频域复正弦波是如何从时间中移位的脉冲产生的。

相位移 = 2π(n0)kN=2π2\pi (n_0) \frac{k}{N} = 2\pi2π(n0​)Nk​=2π（倒数周期）kN\frac{k}{N}Nk​

现在让我们将时间移位应用到时域复正弦波。使用以下恒等式 cos⁡(A+B)=cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin Bcos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB 和 sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin Bsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，我们可以得到：

$$I \rightarrow \cos 2\pi \frac{k}{N}(n + n_0) = \cos 2\pi \frac{k}{N}n \cdot \cos 2\pi \frac{k}{N}n_0 - \sin 2\pi \frac{k}{N}n \cdot \sin 2\pi \frac{k}{N}n_0$$$$Q \uparrow \sin 2\pi \frac{k}{N}(n + n_0) = \sin 2\pi \frac{k}{N}n \cdot \cos 2\pi \frac{k}{N}n_0 + \cos 2\pi \frac{k}{N}n \cdot \sin 2\pi \frac{k}{N}n_0$$

根据复数乘法规则 I⋅I−Q⋅QI \cdot I - Q \cdot QI⋅I−Q⋅Q 和 Q⋅I+I⋅QQ \cdot I + I \cdot QQ⋅I+I⋅Q，我们可以看到在频域中，原始的复正弦波再次乘以另一个频域复正弦波，其表达式为：

$$I \rightarrow V_I[n] = \cos 2\pi \frac{k}{N}n_0$$$$Q \uparrow V_Q[n] = \sin 2\pi \frac{k}{N}n_0$$

最终，当存在 NNN 个分析频率（构成DFT的复正弦波）时会发生什么？扩展上述已证明的概念，并注意到DFT是 NNN 个复正弦波的组合，移位后的 sI[n]=s[(n+n0)mod  N]s_I[n] = s[(n + n_0) \mod N]sI​[n]=s[(n+n0​)modN] 的DFT可以表示为以下表达式：

$$\tilde{S}_I[k] = S_I[k] \cos 2\pi \frac{k}{N}n_0 - S_Q[k] \sin 2\pi \frac{k}{N}n_0$$$$\tilde{S}_Q[k] = S_Q[k] \cos 2\pi \frac{k}{N}n_0 + S_I[k] \sin 2\pi \frac{k}{N}n_0 \tag{1.60}$$

换句话说，DFT与频域复正弦波相乘，因为 n0n_0n0​ 是固定的，而 kkk 是变化的。这是理解信号时域和频域变换的最重要的关系，我们总结为：

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一个域中的移位 ⟶\longrightarrow⟶ 在另一个域中乘以复正弦波

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这些频率的幅度和旋转方向在图1.57中象征性地展示了正的 n0n_0n0​。

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图 1.57：相位线性旋转的符号表示，其随着正的 n0n_0n0​ 的频率指数 kkk 变化。

线性相位的重要性

就线性相位而言，由于以下原因，它可以保留波形形状。一个简单的延迟确保了时间域中的波形完整性。当信号由构成的正弦波组成时，所有这些正弦波都需要被相同的时间延迟（并且不是相同的相位）。直观上讲，如果具有不同频率的正弦波被延迟相同数量的采样，那么它们自然会在相同的持续时间结束时处于不同的相位，如图 1.58 所示。然而，这些相位中的每一个都是那个频率乘以共同延迟。具有不同频率的正弦波的总和仍然保持不变。​

图 1.58：线性相位意味着所有正弦波都经历了由它们频率与延迟时间的乘积引起的相位移

另一方面，如果相位是非线性的，那么引入到波形中的延迟就不会与频率成比例，因此不同的构成正弦波会因不同的时间量而被延迟，这会扭曲信号形状，这通常称为相位失真。在无线通信中，目标是保持信号的线性相位以便正确检测。

只有通过理解相位旋转的意义以及时间和频率域复正弦波的含义，才能获得真正的洞察。接下来，我们将讨论一些基本信号的 DFT 示例，这不仅有助于理解傅里叶变换，还将有助于进一步理解所讨论的概念。

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