3.周期级数的傅里叶展开

3.周期级数的傅里叶展开

周期级数的傅里叶展开

关于傅里叶级数展开这里从书中摘抄一部分需要理解的，理解的具体方法还是从书里学习，但是感觉需要知道即可。公式的推导很复杂，但是会用就可以。

信号的分解与合成

• 方波信号可以分解成一个直流分量和一系列余弦波分量之和。
• 方波信号可以分解成一个直流分量和一系列复指数信号分量之和。

傅里叶级数展开的定义

将一个周期信号分解为一个直流分量和一系列复指数信号分量之和的过程被称为傅里叶级数展开。

周期信号的傅里叶级数展开式为：

$$f\left(t\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_{k}e^{jk\omega_{0}t}$$

其中：ω0\omega_0ω0​:ω0=2πT\omega _{0}= \frac {2\pi }Tω0​=T2π​, 周期T确定了ω0\omega_0ω0​就确定了。ckc_kck​: 就是傅里叶系数，c0c_0c0​是直流分量。

傅里叶级数展开几何意义

傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为ω=kω0\omega=k\omega_0ω=kω0​的旋转向量ckejkω0tc_{k}e^{jk\omega_{0}t}ck​ejkω0​t来合成周期信号。旋转向量在t=0t=0t=0时刻对应的向量就是傅里叶系数ckc_kck​。

傅里叶系数

$$c_{k}=\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{{-T/2}}f(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\omega_{0}t}\mathrm{d}t\quad(k=0,\pm1,\pm2,\cdots)$$

方波信号的傅里叶系数：

$$c_{k}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(k\pi/2)}{k\pi/2}=\frac{1}{2}\sin c\left(\frac{k}{2}\right)$$

周期矩形信号的傅里叶系数

$$c_{k}=\frac{1}{n}\sin c\left(\frac{k}{n}\right)$$

幅度为1的周期矩形信号的傅里叶系数只与占空比有关。

比较直观的印象：sinc函数

$$\sin c\left(x\right)=\frac{\sin\left(\pi x\right)}{\pi x}$$

‍