45、NURBS的定义及其在计算力学中的应用

NURBS的定义及其在计算力学中的应用

1 NURBS的基本概念

非均匀有理B样条（Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS）是一种强大的数学工具，广泛应用于计算机图形学和计算力学中。NURBS能够精确地表示复杂的曲线和曲面，同时保持良好的数值稳定性。这一特性使其成为工程设计和仿真中的首选工具之一。在本章中，我们将深入探讨NURBS的定义及其在计算力学中的应用。

1.1 NURBS的数学定义

NURBS的数学定义涉及控制点、节点矢量和权重。具体来说，一条NURBS曲线可以表示为：

[ \mathbf{C}(u) = \sum_{i=0}^{n} \frac{N_{i,p}(u) w_i}{\sum_{j=0}^{n} N_{j,p}(u) w_j} \mathbf{P}_i ]

其中：
- ( \mathbf{C}(u) ) 是参数 ( u ) 上的曲线点；
- ( \mathbf{P} i ) 是控制点；
- ( N {i,p}(u) ) 是B样条基函数，阶数为 ( p )；
- ( w_i ) 是控制点的权重。

节点矢量 ( U = [u_0, u_1, …, u_m] ) 是一个非递减序列，定义了曲线的参数区间。节点矢量的长度 ( m+1 ) 通常满足 ( m = n + p + 1 )，其中 ( n ) 是控制点的数量，( p ) 是基函数的阶数。

1.2 控制点和权重的作用

控制点和权重共同决定了NURBS曲线的形状。控制点 ( \mathbf{P}_i ) 定义了曲线