43、NURBS的定义与应用

NURBS的定义与应用

1 NURBS的基本概念

NURBS（非均匀有理B样条）是一种在计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）中广泛应用的数学模型，用于精确表示复杂的曲线和曲面。它结合了多项式样条和有理函数的优点，能够在保证灵活性的同时提供更高的精度。NURBS不仅在几何建模中表现出色，还在计算力学领域有着重要的应用，特别是在等几何分析（Isogeometric Analysis, IGA）中，NURBS作为一种强大的工具，能够更好地描述复杂几何形状并提高数值模拟的准确性。

1.1 NURBS的定义

NURBS曲线和曲面是由控制点、权重和节点向量共同决定的。具体来说，NURBS曲线可以通过以下公式定义：

[ \mathbf{C}(u) = \frac{\sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) \cdot \mathbf{P} i \cdot w_i}{\sum {i=0}^{n} N_{i,p}(u) \cdot w_i} ]

其中：
- ( \mathbf{C}(u) ) 表示曲线上的点；
- ( \mathbf{P} i ) 表示控制点；
- ( w_i ) 表示控制点的权重；
- ( N {i,p}(u) ) 表示B样条基函数；
- ( u ) 是参数，取值范围通常是 [0, 1]。

NURBS曲面则可以扩展为：

[ \mathbf{S}(u, v) = \frac{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} N_{i,p}(u) \cdot M_{j,q}(v) \cdo