线性代数——向量、向量加法、向量数乘

目录

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向量

• 物理

  在物理中，向量是直线加箭头。
  其中的直线代表长度，箭头代表方向。
  只要长度和方向相同，那么空间中任意的两个向量也相同。

• 计算机

  在计算机学科中，向量代表一个有序的数表。
  如：
  $\begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}1 \\22 \\140 \\\end{array}\end{bmatrix}$
  其中1表示女士，22表示22岁，140表示智商，并且数据是不能颠倒的。

• 数学

  在几何上，向量的起点始终是原点，终点是箭头所在的点；
  在代数上，用各个维度的坐标值表示。
  也就是数学更为纯粹，计算机和物理只是取其一部分用之。

向量加法

两个向量相加时，就像两个数相加一样，只不过需要考虑方向。

如上图所示，$\vec u + \vec w = \vec v， \vec w = \vec w'$,
加法操作就是，某点沿着向量$\vec u$运动，之后再沿着向量$\vec w'$运动，最后从原点到该点做一个向量，就是$\vec v$。
也就是某点沿$x$轴方向先移动2个单位，再同向移动4个单位；同理，沿$y$轴方向移动2个单位，再反向移动1个单位。
推广到一般：
$\vec u = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}x_1 \\y_1 \\\end{array}\end{bmatrix}\vec w = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}x_2 \\y_2 \\\end{array}\end{bmatrix},$
$\vec u + \vec w = \vec v = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}x_1 + x_2 \\y_1 + y_2\\\end{array}\end{bmatrix}.$

向量数乘

一个向量与一个数相乘时，就是一个放缩操作。此外，正数表示与原向量同向、负数表示原向量反向。

如上图所示，
$\vec v = 2 \vec u, \vec w = - \vec u.$
同时，
$\vec u = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}x \\y \\\end{array}\end{bmatrix},$
$\vec w = k\vec u = \begin{bmatrix}\begin{array}{ccc}kx \\ky\\\end{array}\end{bmatrix}.$

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将数据表示为向量并提供相关几何图形，便能更直观的查看全局特征并采用合适的方法对数据进行处理。
同时也将几何特征用数值表示，便于计算机处理。