5、信息论学习与再生核希尔伯特空间：原理、应用与优势

信息论学习与再生核希尔伯特空间：原理、应用与优势

1. 信息论学习（ITL）基础

当残差不服从高斯分布时，直接约束信号的信息内容比仅考虑其能量更为合适。熵被定义为随机变量的不确定性，因此在需要处理信号信息内容的应用中，采用熵作为准则是自然的选择。不过，信息论在通信系统中的应用与自适应信号处理和机器学习的实际情况存在重要差异：
- 连续随机变量处理 ：自适应系统需处理连续值随机过程，因此讨论应聚焦于由概率密度函数描述的连续随机变量。
- 平滑成本函数需求 ：自适应算法需要平滑的成本函数，否则局部搜索算法难以应用。
- 数据统计特性 ：机器学习和现代信号处理应用中的数据统计具有长尾特征，且存在异常值，高斯假设通常不适用于这些应用。

为满足上述要求，非参数核密度估计是一个富有成效的研究方向。它不仅能将信息理论、自适应和核方法联系起来，还为自适应算法的设计提供了新的思路。

2. ITL在学习理论中的应用

学习理论传统上分为监督学习、无监督学习和强化学习三大原则。ITL方法在统一这些学习范式方面发挥着重要作用。

2.1 监督学习范式

在监督学习中，自适应系统可以访问来自外部世界的两对信号 {xi, zi}。学习的目标是发现将x与z关联起来的模型。通过定义期望响应与自适应系统输出之间的误差，并对误差进行惩罚以实现参数优化，从而产生了最小二乘法和梯度下降法等监督自适应方法。

2.2 无监督学习范式

无监督学习中，自适应系统仅能访问来自外部世界