27、数据驱动的Koopman分析：原理、方法与应用

数据驱动的Koopman分析：原理、方法与应用

1. 引言

在处理强非线性系统时，获得线性表示对于预测和控制这些系统具有革命性的潜力。传统上，在固定点或周期轨道附近进行动力学线性化用于局部线性表示，但这种方法有局限性。而Koopman算子提供了一种全局线性表示，即使远离固定点和周期轨道也有效。不过，之前获取Koopman算子有限维近似的尝试成效有限。接下来将介绍几种从数据中识别Koopman嵌入和特征函数的方法。

2. Koopman分析基础

• Koopman算子相关概念 ：Koopman算子也称为复合算子，是标量可观函数空间上的拉回算子，它是Perron - Frobenius算子（概率密度函数空间上的前推算子）的对偶。当选择多项式基来表示Koopman算子时，它与Carleman线性化密切相关，而Carleman线性化在非线性控制中应用广泛。此外，Koopman分析还与流体动力学中的预解算子理论有关。
• Koopman分析的优势 ：Koopman特征函数的水平集形成动力系统状态空间的不变划分，其特征函数可用于分析遍历划分。并且，Koopman分析将Hartman - Grobman定理推广到稳定或不稳定平衡点或周期轨道的整个吸引域。

3. 数据驱动的Koopman分析方法

3.1 扩展动态模式分解（Extended DMD）

• 算法原理 ：扩展DMD算法与标准DMD基本相同，不同之处在于，它不是对状态的直接测量进行回归，而是对包含状态非线性测量的增强向量