1、信息理论学习：从基础到应用

信息理论学习：从基础到应用

1. 引言

在统计信号处理和机器学习领域，信息理论学习（ITL）提供了一种独特的视角。它旨在将工程（信号处理）和统计（机器学习）这两个有着众多共同问题和技术但尚未有效合作的领域连接起来。ITL 以信息理论为基础，特别是 Renyi 对信息的定义，将熵和散度等信息理论描述符作为非参数成本函数，用于设计自适应系统。

2. 信息理论基础

2.1 信息论的核心概念

信息论包含多个核心概念，以下是对这些概念的简要介绍：
| 概念 | 描述 |
| — | — |
| 熵 | 衡量随机变量不确定性的度量。对于离散随机变量 (X)，其熵 (H(X)) 定义为 (H(X)=-\sum_{x}p(x)\log p(x))，其中 (p(x)) 是 (X) 取值为 (x) 的概率。对于连续随机变量，熵的定义会有所不同，但同样反映了变量的不确定性程度。 |
| 互信息 | 衡量两个随机变量之间的依赖程度。互信息 (I(X;Y)) 定义为 (I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X))，它表示知道一个变量的信息后，另一个变量不确定性的减少量。 |
| 相对熵（Kullback - Leibler 散度） | 衡量两个概率分布之间的差异。对于两个概率分布 (p(x)) 和 (q(x))，Kullback - Leibler 散度 (D_{KL}(p||q)) 定义为 (D_{KL}(p||q)=\sum_{x}p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)})（离散情况）或 (D_{KL}(p||q)=\int p(x)\log\frac{p(x)}{q(x)}dx)（连续情况）。它