[agc 049E][凸性dp][小计数] Increment Decrement

这篇博客探讨了如何使用凸性动态规划(DP)解决AGC 049E的问题,其中涉及到序列权值的计算和操作代价的最小化。作者详细解释了如何建立DP状态并进行转移,并证明了DP数组的下凸性质,同时提供了问题的复杂度分析和解决方案的代码实现。

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妹神的,看不懂
官方题解
前言:博主已经

菜到没救了/kk

由于zz的博主认为官方题解不太好懂,需要一些细节的解释,于是

xjb写了一篇自己都看不懂的题解

题意

定义个一个长度为n的整数序列A的权值如下:
一开始全部位置都是0
操作1,给某个位置+1或-1,代价1
操作2:给某段位置+1或-1,代价C
问变成A的最小代价
现在给出二维数组KaTeX parse error: Expected '}', got 'EOF' at end of input: …1<=i<=n,1<=j<=K, A i A_i Ai B i B_i Bi的K个数中选一个
K n K^n Kn种序列的权值和

搬运的题解

该场的D是不是暗示了E的凸性啊wow
simply先考虑下A的权值
钦定通过2操作我们可以得到 p 0 − p n + 1 p_0-p_{n+1} p0pn+1, p 0 = p n + 1 = 0 p_0=p_{n+1}=0 p0=pn+1=0
那么2操作的代价为 1 2 C ∑ 1 < = i < = n + 1 ∣ p i − p i − 1 ∣ \frac{1}{2}C\sum_{1<=i<=n+1}|p_i-p_{i-1}| 21C1<=i<=n+1pipi1
1.由于p首尾为0,同样可以写成 C ∑ 1 < = i < = n + 1 m a x ( 0 , p i − p i − 1 ) C\sum_{1<=i<=n+1}max(0,p_i-p_{i-1}) C1<=i<=n+1max(0,pipi1)
2.至于后面的1操作,就是 ∑ 1 < = i < = n ∣ A i − p i ∣ \sum_{1<=i<=n}|A_i-p_i| 1<=i<=nAipi
就是要通过设置p,使得1,2代价和最小化
这里我们先想个dp的方法,首先明确一些细节:
1中i有n+1个,2的i有n个
我们先把1中i=1时 p 1 = j p_1=j p1=j的值设为 d p 1 , j = C ∗ m a x ( j , 0 ) dp_{1,j}=C*max(j,0) dp1,j=Cmax(j,0)
接下里的转移,我们有 d p i , j dp_{i,j} dpi,j表示确定了 p 1 − p i , p i = j p_1-p_i,p_i=j p1pi,pi=j,表示1中前i项,2中前i-1项代价和的最小值,也就是,我们不考虑 ∣ p i − A i ∣ |p_i-A_i| piAi的贡献!!!
这样有个好处, d p n + 1 , 0 dp_{n+1,0} dpn+1,0直接就是答案
设置好了,观察dp的转移
d p i , k = m i n ( m a x ( d p

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