DAY-3 : 简单数论

最新推荐文章于 2025-03-01 17:00:19 发布

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本文探讨了数论中的基本概念，如欧拉函数及其性质，并提供了多种求解欧拉函数值的方法，包括打表法及利用积性函数性质进行优化。

专题：简单数论

我今天一定是学数学来的。学完我觉得我都可以参加数学竞赛了。晕头转向，哪哪都没学过。

Question_A

考察欧拉函数，打表打表！！！

普通打表太慢了，要用什么筛法，我学了学百度百科的打表方法，感觉好神奇哦，直接使用了三个性质没有套用求解公式，那样循环居然每个数都能走一遍（而且那个素数判断也镶嵌在其中太神奇了吧），但感觉有的会重复计算；然后还看了看其他人的打表方法大部分都用了那个公式，也是筛法；迷……

欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1 （唯一和1互质的数就是1本身）。

对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E (N) = E(N / a) * (a - 1)。

参考链接：www.cnblogs.com/soTired/p/4764321.html

附：百度百科上的打表模板：

/*
特性 :
1.若a为质数,phi[a]=a-1;
2.若a为质数,b mod a=0,phi[a*b]=phi[b]*a
3.若a,b互质,phi[a*b]=phi[a]*phi[b](当a为质数时,if b mod a!=0 ,phi[a*b]=phi[a]*phi[b])
*/
int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int make()
{
        phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!m[i])//i为素数
        {
            p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知    
        }    
        for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<n;j++)  //用当前已的到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
        {
            m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数 
            if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质 
            {
                phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //特性2
                break;
            }
            else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,特性3其,p[j]-1就是phi[p[j]]   
        }
    }
}

Question_B

你敢相信么我题意看不懂，什么是约数、还是叫因数。。查了半天。直接看定义比较明了；

1）一个正整数n按素因子分解：n=p1^a1*p2^a2*....*pk^ak，那么n的约数的个数为（a1+1）(a2+1)...(ak+1)；

2）对于一个素数p，n！中按素因子分解，p的幂为 n/p+n/p^2+n/p^3...，其中/为整除

3）C(N,K)=N! / (K! (N-K)!) 整体约数个数：f(N!) - f(K!) - f((N-K)!).

还有就是，cout 输出时间和 printf 怎么差这么多，前者450ms,后者625ms。

本题上代码，因为太多知识点了

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int primes[341];
int numpr;

bool jupr(int n){
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	    if(n%i==0)
                return false;
	return true;
}

void prime(){
	for(int i=2;i<=432;i++)
		if(jupr(i))
			primes[numpr++]=i;
}

int cal(int a,int b){
	int sum=0;
	int flag=b;
	while(a>=b){
	    sum+=a/b;
	    b*=flag;
	}
	return sum;
}

int main(){
	prime();
	int n,k;
	while(~scanf("%d%d",&n,&k)){
		long long ans=1;
		for(int i=0;i<numpr&&primes[i]<=max(n,k);i++){
		    int a = cal(n,primes[i]);
                    int b = cal(k,primes[i]);
                    int c = cal(n-k,primes[i]);
                    ans*=(a-b-c+1);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

Question_C

什么积性函数性质啊，不会，只学会了最弱鸡的方法，欧拉啊欧拉,wuwuwu。

欧拉函数 φ(x)φ(x) ：1到x-1有几个和x互质的数。

gcd(i,n)必定是n的一个约数。

若p是n的约数，那么gcd(i,n)==p的有φ(n/p)φ(n/p)个数，因为要使gcd(i,n)==p，i/p和n/p必须是互质的。

那么就是求i/p和n/p互质的i在[1,n]里有几个，就等价于 1/p，2/p，...，n/p 里面有几个和n/p互质，即φ(n/p)。

求和的话，约数为p的有φ(n/p)，所以就是p*φ(n/p)，同时把约数为n/p的加上去，i*i==n特判一下。

参考链接：https://www.cnblogs.com/flipped/p/5690123.html

太难了吧这也.......

#include<cstdio>
#include<cmath>
long long eular(int x){
	int rea=x;
	for(int i=2;i<=sqrt(x);i++){
		if(x%i==0){
			rea=rea/i*(i-1);
			while(x%i==0)
				x=x/i;
		}
	}
	if(x>1)
		rea=rea/x*(x-1);
	return rea;
}

int main(){
	long long n;
	while(~scanf("%lld",&n)){
		long long ans=0;
		long long i;
		for( i=1;i<sqrt(n);i++){
			if(n%i==0)
				ans+=i*eular(n/i)+n/i * eular(i);
		}
		if(i*i==n)
			ans+=i*eular(i);
		printf("%lld\n",ans);
	}
}

后来看了看积性性质大概就公式吧，没太懂：f(n)=n*∏（1+ai*(pi-1)/pi）

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
 
int main()
{
	ll n;
	while(scanf("%lld",&n)==1){
		ll ans=n;
		for(ll i=2;i*i<=n;++i){
			if(n%i==0){
				ll a=0,p=i;
				while(n%p==0){
					++a;
					n/=p;
				}
				ans=ans+ans*a*(p-1)/p;
			} 
		}
		if(n!=1)
			ans=ans+ans*(n-1)/n;
		printf("%I64d\n",ans);
	}	
	return 0;	
}

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Question_E

欧几里德算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数a，b的最大公约数。应用领域有数学和计算机两个方面。计算公式gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)。

转化为gcd（b×t+a，b）=gcd（a，b）（t为任意整数）

刚开始一直 Runtime Error , (sum-1)的值没把握好。