Ljunggren方程解的搜寻

 

Ljunggren方程

M. B. Nathanson所著《Elementary Methods in Number Theory》第42页给出了下面一个问题：“确定 Ljunggren方程 x ²-2y ⁴=-1在x≤1000内的所有可能的整数解。”这一问题可以通过设计程序解决。因为4次方数比平方数要稀疏，我们可以从变量y着手来设计问题求解程序。

为了在更大范围内寻找问题可能的解，我们限制1≤y≤181，y的上界限制为181，是因为2×181 ⁴＋1＝2146566243刚好小于2 ³¹，而这时1≤x≤46331。

// File:      eq_ljung.c // Date:     05/07/2006 // Author:        Liu Jiangning   #include <stdio.h> #include <conio.h> #include <math.h>   #define BOOL int #define TRUE 1 #define FALSE       0   BOOL isSqr(int v, int *x);   void main() {        int x, y;        int p1, p2, p3, p4, v;               p1 = 36;        p2 = 14;        p3 = 1;        p4 = 0;        for (y = 1; y <= 181; y++)        {               p4 += p3;               p3 += p2;               p2 += p1;               p1 += 24;                 v = 2 * p4 - 1;               if (isSqr(v, &x))                      printf("%d^2-2*%d^4=-1/n", x, y);        }          getch(); }   BOOL isSqr(int v, int *x) {        int y;          y = (int)sqrt((double)v);        if (y*y == v)        {               *x = y;               return TRUE;        }          return FALSE; }

程序在该范围内找到两个解：

1 ²-2*1 ⁴=-1

239 ²-2*13 ⁴=-1