生成Farry序列的Prolog程序

 

生成Farry序列的Prolog程序

设n为正整数，n阶Farey序列为[0,1]区间内所有分母小于或等于n的所有有理数递增排列所构成的序列。记0＝0/1，1＝1/1，Fn为n阶Farey序列，则1～7阶的Farey序列为：

{0/1,1/1}

{0/1,1/2,1/1}

{0/1,1/3,1/2,2/3,1/1}

{0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1}

{0/1,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,1/1}

{0/1,1/6,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,5/6,1/1}

{0/1,1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,2/3,5/7,3/4,4/5,5/6,6/7,1/1}

Farry序列的基本数学性质

关于Farey序列的构造规律，我们有如下定理：

定理

（1）若p1/q1和p2/q2为Fn中相继的两项，则p2q1－p1q2＝1且q1＋q2>n

（2）若p1/q1, p2/q2 和p3/q3为Fn中相继的3项，则p2/q2=(p1+p3)/(q1+q3)

生成Farry序列的Prolog程序

 

 // 第一个arg表示级数的阶，第二个表为生成的farry级数表

 farry_series(1, [fr(0,1), fr(1,1)]).

 farry_series(N, Fs):-

      N > 1,

      farry_series_4(2, N, [fr(0,1), fr(1,1)], Fs).

 // 第一个arg值K表示目前已经生成的farry级数的阶，第二个N为目标级数的阶，第三个为K阶Farry级数，是一个部分结果，第四个为目标阶的Farry级数

 farry_series_4(K, N, Fs, Fs):-

      K > N.

 farry_series_4(K, N, Fs0, Fs):-

      K <= N,

      g(0, K, G),

      frlist_merge(Fs0, G, Fs1),

      K1 = K + 1,

      farry_series_4(K1, N, Fs1, Fs).

 // 形成所有分母为N的既约分数，例如N=4时，生成表[1/4,3/4] 

 g(K, N, []):-K > N, !.

 g(K, N, [fr(K, N)|G]):-

      gcd(K, N, 1), !,          // gcd is a greatest common divisor predicate

      K1 = K + 1,

      g(K1, N, G).

 g(K, N, G):-

      K1 = K + 1,

      g(K1, N, G).

 // merge two fract lists orderly 

 frlist_merge([], Fs, Fs).

 frlist_merge(Fs, [], Fs).

 frlist_merge([F1|Fs1], [F2|Fs2], [F1|Fs]):-

    fract_ls(F1, F2), !,

    frlist_merge(Fs1, [F2|Fs2], Fs).

 frlist_merge(Fs1, [F2|Fs2], [F2|Fs]):-

    frlist_merge(Fs1, Fs2, Fs).

 

 fract_ls(fr(P1, Q1), fr(P2, Q2)):-

    P1*Q2 < P2*Q1.

 

 frlist_print([]):-

    write("{}").

 frlist_print([F|Fs]):-

    frlist_print_first_element(F),

    frlist_print_rest_elements(Fs).

   

 frlist_print_first_element(fr(P, Q)):-

    write("{", P, "/", Q).

 

 frlist_print_rest_elements([]):-

    write("}").

 frlist_print_rest_elements([fr(P, Q)|Fs]):-

    write(",", P, "/", Q),

    frlist_print_rest_elements(Fs).

以下是上述程序的生成结果： 

{0/1,1/1}

{0/1,1/2,1/1}

{0/1,1/3,1/2,2/3,1/1}

{0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1}

{0/1,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,1/1}

{0/1,1/6,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,5/6,1/1}

{0/1,1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,2/3,5/7,3/4,4/5,5/6,6/7,1/1}

{0/1,1/8,1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,3/8,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,5/8,2/3,5/7,3/4,4/5,5/6,6/7,7/8,1/1}

{0/1,1/9,1/8,1/7,1/6,1/5,2/9,1/4,2/7,1/3,3/8,2/5,3/7,4/9,1/2,5/9,4/7,3/5,5/8,2/3,5/7,3/4,7/9,4/5,5/6,6/7,7/8,8/9,1/1}

{0/1,1/10,1/9,1/8,1/7,1/6,1/5,2/9,1/4,2/7,3/10,1/3,3/8,2/5,3/7,4/9,1/2,5/9,4/7,3/5,5/8,2/3,7/10,5/7,3/4,7/9,4/5,5/6,6/7,7/8,8/9,9/10,1/1}