二分求幂与伪递归优化

本文探讨了如何使用二分求幂算法优化实数的幂运算。通过递归和尾递归的方法改进计算效率,并最终转换为循环结构,利用循环不变量进一步优化程序。

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二分求幂与伪递归优化
对于许多问题求解来说,设计相应的递归程序是非常自然的事。例如,对于计算实数x的n次幂这一任务,一种高效求解算法的递归设计思想可表示如下:
记x的n次幂为P,若n为偶数,记y=x*x, P等于y的n/2次幂;若n为奇数,计算x的n-1次幂,结果记为P1,则P=x*P1。
相应的递归程序为:
double power(double x, int n)
{
     if (n == 1) return x;
 
    if ((n % 2) == 0)
                   return power(x*x, n/2);
         else
                   return x*power(x, n-1);
}
引入一个变量表示中间结果,这一程序可以改进为下面的尾递归程序:
double power(double x, int n)
{
         return power1(x, n, 1.0);
}
 
// res记录部分计算结果
double power1(double y, int n, double res)
{
    if (n == 0) return res;
 
    if ((n % 2) == 0)
                   return power(y*y, n/2, res);
         else
                   return power(y, n-1, y*res);
}
进一步可将上面的尾递归程序修改为循环结构的程序,其中,循环中的三个变量x、n、res之间维持关系res*(x**n)=x0**n0,这里,x0、n0表示初始的x、n值,这一关系即为循环不变量。
double power(double x, int n)
{
         double res;
 
         res = 1.0;
         while (n > 0)
                   if ((n % 2) == 0)
                   {
                            x = x*x;
                            n = n/2;
                   }
                   else
                   {
                            n = n-1;
                            res = x*res;
                   }
         return res;
}
 
 
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