7.5.1 拓补排序（有向图）

拓补排序相关定义

• 偏序
  指某个集合中仅有 部分成员 之间可比较。

• 全序
  指集合中 全体成员 之间均可比较。

• 如下图 a 表示 偏序，b 表示 全序
  在图中，弧（x，y）表示 x <= y。
  
  若在 图a 中人为的加上 v₂ <= v₃ ，则 图a 也是全序。

• 拓补排序
  简言之，由某个集合上的 一个偏序 得到该集合上的一个 全序 的操作，叫做拓补排序。
  全序 又叫做 拓补有序。

如何进行拓补排序

• 1、在有向图中选一个没有前驱的顶点且输出之。
  2、从图中删除 该顶点和所有以它为尾的弧。
  3、重复上述两步，直至 全部顶点均已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明此有向图中有环。

• 拓补排序示例
  
  得到上 图a 的拓补有序序列为：
  v₆ -> v₁ -> v₄ -> v₃ -> v₂ -> v₅

• 当有向图无环时，也可利用 深度优先遍历 进行拓补排序，因为图中无环，则由图中某点出发进行深度优先搜索遍历时，最先退出 DFS 函数的顶点 即 出度为零的顶点，是 拓补有序序列 中最后一个顶点。
  由此，按 退出 DFS 函数的先后 记录下来的顶点序列（如同求强连通分量时，finished 数组中的顶点序列）即为逆向的拓补有序数列。

代码实现拓补排序

• 采用 邻接表 作有向图的存储结构，且在头结点中增加一个 存放顶点入度的数组 。
  入度为 0 的顶点即为 没有前驱的顶点；
  删除顶点及以它为尾的弧的操作，可换以弧头顶点的入度减 1 来实现。
  为了避免重复检测入度为 0 的顶点，可另设一栈暂存所有入度为 0 的顶点。

#define MAX_VERTEX_NUM 20

typedef struct ArcNode
{
	int adjvex;  // 该弧所指向的顶点的位置
	struct ArcNode *nextarc; // 指向的下一条弧的指针
	InfoType *info; // 指向该弧相关信息的指针
} ArcNode;  // 表中结点，表示一条弧(也可以是一条边) 

typedef struct VNode
{
	VertexType data;   //顶点信息
	ArcNode *firstarc; //指向第一条依附于该顶点的弧的指针
} VNode, AdjList[MAX_VERTEX_NUM]；

typedef struct
{
	AdjList vertices;   //存放顶点结点的顺序表
	int vexnum, arcnum; //图的当前顶点数和弧数
	int kind; 			//图的种类，标志
} ALGraph;

Status TopologicalSort(ALGraph G)
{
	// 对图中各个顶点求入度 indegree[0 .. vernum-1]
	FindInDegree(G, indegree);
	InitStack(S);
	// 建零入度顶点栈 S
	for(i=0; i<G.vexnum; i++)
	{
		if(!indegree[i])
		{
			Push(S, i);
		}
	}
	// count 用于对输出顶点计数
	count = 0;
	while(!StackEmpty(S))
	{
		Pop(S, i);
		// 输出 i 号顶点 并 计数
		printf(i, G.vertices[i].data);
		count++;
		// 对 i 号顶点的每个邻接点的入度减 1
		for(p=G.vertices[i].firstarc;
				p;
				p=p->nextarc)
		{
			k = p->adjvex;
			// 若新产生入度为 0 的顶点
			// 当场入栈
			if(!(--indegree[k]))
			{
				Push(S, k);
			}
		}
	}
	// 该图存在回路
	if(count<G.vexnum)
	{
		return ERROR;
	}
	else
	{
		return OK;
	}
}

• 时间复杂度
  对 n 个顶点 和 e 条弧的有向图而言，求各个顶点的入度的时间复杂度为 O( e )；
  建 0 入度顶点栈 的时间复杂度为 O( n )；
  在拓补排序过程中，若有向图无环，每个顶点进一次栈，出一次栈，入度减1 的操作在 while 语句中共执行 e 次，
  所以 总的时间复杂度 为 O( n+e )