7.5.0 有向无环图及其应用

• 有向无环图
  没有 环，有 方向 的图（directed acycline graph），简称 DAG 图

• 有向树、有向无环图 和 有向图 的对比图例
  

• 有向无环图 是描述 含有公共子式的表达式 的有效工具
  例如表达式：( ( a + b ) * ( b * ( c + d ) ) + ( c + d ) * e ) * ( ( c + d ) * e ) 分别用 二叉树 和 有向无环图 描述表达式
  
  可见，利用 有向无环图 ，可以实现对相同子式的共享，从而节约存储空间。

• 检查 一个有向图是否存在环 比检查 一个无向图是否存在环 要复杂。
  对于 无向图 来说，若深度优先遍历过程中遇到 回边（指向已访问过顶点的边），则必定存在环；
  对于 有向图 来说，这条回边可能是指向 深度优先生成森林中另一棵生成树上顶点的弧。但是如果从有向图上 某个顶点 v 出发的遍历，在 DFS(v) 结束之前出现一条从 顶点 u 到 顶点 v 的回边，由于 u 在生成树上是 v 的 子孙 ，则有向图中必定存在 包含顶点 u 和 v 的环 。

• 有向无环图 也是描述 一项工程或系统 的进行过程的有效工具。
  几乎所有的 工程 都可分为若干个称作活动的 子工程 ，这些子工程之间通常存在一定条件的 约束：
  如其中某些子工程的开始必须在另一些子工程完成之后。
  通常对于整个系统 / 工程有 两大类问题：
  1、工程能否顺利进行。（拓补排序）
  2、估算整个工程完成所必须的最短时间。（关键路径）

• 7.5.1 拓补排序
  7.5.2 关键路径